Um capacitor de placas paralelas, com capacitância \mathrm{C}_{0}, no vácuo, é carregado por uma bateria de tensão V até armazenar uma carga \mathrm{Q}_{0}. A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado) e um dielétrico de constante dielétrica \mathrm{k}=4 é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Após a inserção completa do dielétrico, determine em termos de \mathrm{C}_{0}, \mathrm{~V} e \mathrm{Q}_{0} :
(c) A nova energia armazenada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Temos um capacitor de placas paralelas, com capacitância inicial C_{0} no vácuo.
  • Esse capacitor é ligado a uma bateria de tensão V e atinge carga Q_{0}.
  • A bateria é então desligada, ou seja, o capacitor fica isolado (sem caminho para a carga sair).
  • Um dielétrico com constante dielétrica k=4 é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas.
  • Pergunta: após a inserção completa do dielétrico, determine a nova energia armazenada, expressa em termos de C_{0}, V e Q_{0}.

Passo 2

Entender o que muda quando a bateria é desligada e o dielétrico é inserido.
  • Como a bateria foi desligada antes de inserir o dielétrico, não há caminho para cargas saírem ou entrarem nas placas. Portanto a carga no capacitor permanece constante:
Q_{\text{final}} = Q_{0}.
  • O que pode mudar é a capacitância e, consequentemente, a diferença de potencial entre as placas e a energia armazenada. Vamos achar essas mudanças passo a passo.

Passo 3

Como a capacitância muda ao inserir um dielétrico.
  • Para um capacitor de placas paralelas no vácuo a capacitância é proporcional à permissividade do meio; inserir um dielétrico com constante k multiplica a capacitância por k. Logo a nova capacitância é
C_{\text{nova}} = k\,C_{0}.
  • No nosso caso k=4, então
C_{\text{nova}} = 4\,C_{0}.

Passo 4

Recordando fórmulas úteis para energia de um capacitor (e quando usar cada uma).
  • A energia eletrostática armazenada em um capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes:
U=\frac{Q^{2}}{2C},\qquad U=\frac{1}{2}CV^{2},\qquad U=\frac{1}{2}QV.
  • Aqui Q é a carga nas placas, C é a capacitância e V é a diferença de potencial entre as placas.
  • Escolhemos a forma mais adequada usando o que permanece fixo: como a carga Q permanece fixa (capacitor isolado), a forma mais direta é
U=\frac{Q^{2}}{2C}.

Passo 5

Calcular a nova energia usando Q fixo e a nova capacitância.
  • Substituindo Q=Q_{0} e C=C_{\text{nova}}=kC_{0} em U=\dfrac{Q^{2}}{2C}, obtemos
U_{\text{nova}}=\frac{Q_{0}^{2}}{2\,k\,C_{0}}.
  • Como k=4, uma forma numérica simplificada é
U_{\text{nova}}=\frac{Q_{0}^{2}}{8\,C_{0}}.

Passo 6

Escrever a energia também nas outras formas pedidas (em termos de C_{0} e V, e em termo misto com Q_{0} e V) usando a relação inicial entre Q_{0}, C_{0} e V.
  • Antes de desconectar a bateria a carga armazenada satisfaia Q_{0}=C_{0}V. Podemos usar essa relação para obter expressões equivalentes.
  • Substituindo Q_{0}=C_{0}V em U_{\text{nova}}=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2kC_{0}} obtemos
U_{\text{nova}}=\frac{C_{0}V^{2}}{2k}.
  • Para k=4 isso fica
U_{\text{nova}}=\frac{C_{0}V^{2}}{8}.
  • Outra forma equivalente, usando U=\tfrac{1}{2}Q V com a nova diferença de potencial (não necessária aqui) mas substituindo diretamente Q_{0}=C_{0}V e dividindo por k, obtém-se também
U_{\text{nova}}=\frac{Q_{0}V}{2k}=\frac{Q_{0}V}{8}.

Passo 7

Interpretação rápida (para te dar confiança na resposta).
  • A energia diminui ao inserir o dielétrico porque a capacitância aumenta; com carga fixa, a energia U=Q^{2}/(2C) diminui. A diferença de energia vai para o trabalho mecânico realizado na inserção do dielétrico (ele é atraído para dentro pelo campo) ou pode ser dissipada, dependendo do processo de inserção.

Resposta

U_{\text{nova}}=\frac{Q_{0}^{2}}{2kC_{0}}=\frac{Q_{0}^{2}}{8C_{0}}
U_{\text{nova}}=\frac{C_{0}V^{2}}{2k}=\frac{C_{0}V^{2}}{8}
U_{\text{nova}}=\frac{Q_{0}V}{2k}=\frac{Q_{0}V}{8}

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