Um capacitor de placas paralelas, com capacitância
, no vácuo, é carregado por uma bateria de tensão V até armazenar uma carga
. A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado) e um dielétrico de constante dielétrica
é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Após a inserção completa do dielétrico, determine em termos de
e
:
(c) A nova energia armazenada.
(c) A nova energia armazenada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Temos um capacitor de placas paralelas, com capacitância inicial
no vácuo. - Esse capacitor é ligado a uma bateria de tensão
e atinge carga . - A bateria é então desligada, ou seja, o capacitor fica isolado (sem caminho para a carga sair).
- Um dielétrico com constante dielétrica
é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. - Pergunta: após a inserção completa do dielétrico, determine a nova energia armazenada, expressa em termos de
, e .
Passo 2
Entender o que muda quando a bateria é desligada e o dielétrico é inserido.
- Como a bateria foi desligada antes de inserir o dielétrico, não há caminho para cargas saírem ou entrarem nas placas. Portanto a carga no capacitor permanece constante:
- O que pode mudar é a capacitância e, consequentemente, a diferença de potencial entre as placas e a energia armazenada. Vamos achar essas mudanças passo a passo.
Passo 3
Como a capacitância muda ao inserir um dielétrico.
- Para um capacitor de placas paralelas no vácuo a capacitância é proporcional à permissividade do meio; inserir um dielétrico com constante
multiplica a capacitância por . Logo a nova capacitância é
- No nosso caso
, então
Passo 4
Recordando fórmulas úteis para energia de um capacitor (e quando usar cada uma).
- A energia eletrostática armazenada em um capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes:
- Aqui
é a carga nas placas, é a capacitância e é a diferença de potencial entre as placas. - Escolhemos a forma mais adequada usando o que permanece fixo: como a carga
permanece fixa (capacitor isolado), a forma mais direta é
Passo 5
Calcular a nova energia usando
fixo e a nova capacitância.
- Substituindo
e em , obtemos
- Como
, uma forma numérica simplificada é
Passo 6
Escrever a energia também nas outras formas pedidas (em termos de
e
, e em termo misto com
e
) usando a relação inicial entre
,
e
.
- Antes de desconectar a bateria a carga armazenada satisfaia
. Podemos usar essa relação para obter expressões equivalentes. - Substituindo
em obtemos
- Para
isso fica
- Outra forma equivalente, usando
com a nova diferença de potencial (não necessária aqui) mas substituindo diretamente e dividindo por , obtém-se também
Passo 7
Interpretação rápida (para te dar confiança na resposta).
- A energia diminui ao inserir o dielétrico porque a capacitância aumenta; com carga fixa, a energia
diminui. A diferença de energia vai para o trabalho mecânico realizado na inserção do dielétrico (ele é atraído para dentro pelo campo) ou pode ser dissipada, dependendo do processo de inserção.