Interações Atômicas e Moleculares
Lista 1
Espectros e modelos atômicos

2. Problemas

Uma aproximação para as energias dos estados estacionários de átomos de número atômico Z e um único elétron é dada por
En approx-Z^2 times 13,6n^2
Onde En é dada em eV e n é um inteiro. Considere o átomo de lítio duplamente ionizado, Li^2+, que tem número atômico Z=3.
Calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição descrita no item i.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! Temos um átomo de lítio duplamente ionizado, Li^2+, que tem número atômico Z=3. A gente precisa calcular o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron faz uma transição entre dois níveis de energia. Para resolver isso, vamos usar a fórmula fornecida para as energias dos estados estacionários e algumas ideias de física quântica sobre emissão de fótons.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada para a energia dos estados estacionários:
En approx -Z^2 times 13,6n^2
Aqui, En é a energia do nível n, Z é o número atômico, e n é um número inteiro que representa o nível de energia (também conhecido como número quântico principal).

Passo 3

Como estamos lidando com o átomo Li^2+, que tem Z=3, vamos substituir esse valor na fórmula:
En approx -3^2 times 13,6n^2 = -9 times 13,6n^2 = -122,4n^2 eV
Agora temos a energia de cada nível em termos de n.

Passo 4

Para encontrar o comprimento de onda do fóton emitido, precisamos saber a diferença de energia entre os dois níveis envolvidos na transição. Vamos supor que o elétron está fazendo a transição do nível n=3 para n=2. (Se a transição for diferente, você pode ajustar os valores de n conforme necessário.)

Passo 5

Calculando as energias dos níveis n=3 e n=2:
E3 = -122,43^2 = -122,49 approx -13,6 eV
E2 = -122,42^2 = -122,44 = -30,6 eV

Passo 6

A diferença de energia ( De) entre esses níveis é:
De
Como estamos interessados na energia liberada, consideramos o valor absoluto:
De

Passo 7

Agora, usamos a relação entre a energia do fóton e o comprimento de onda:
E = hclambda
Onde:
  • E é a energia do fóton,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 J·s),
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 m/s),
  • lambda é o comprimento de onda.
Rearranjando para encontrar lambda:
lambda = hcE

Passo 8

Primeiro, precisamos converter a energia de elétron-volts para joules:
1 eV = 1,602 times 10^-19 J
Então,
E = 17 eV times 1,602 times 10^-19 J/eV = 2,7234 times 10^-18 J

Passo 9

Agora, calculamos lambda:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^82,7234 times 10^-18 approx 1,9878 times 10^-252,7234 times 10^-18 approx 7,3 times 10^-8 m
Convertendo para nanômetros (1 m = 10^9 nm):
lambda approx 73 nm

Resposta

O comprimento de onda do fóton emitido na transição é aproximadamente 73 nm.

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