No interferômetro de Michelson, um dos espelhos é movido lentamente. Se 500 franjas escuras passarem por um ponto de referência, e o comprimento de onda da luz é \lambda=550 \mathrm{~nm}, qual é a distância D em que o espelho foi movido?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a distância móvel D que um dos espelhos do interferômetro de Michelson foi deslocado, sabendo que passaram 500 franjas escuras por um ponto de referência e que o comprimento de onda da luz é \lambda=550\\ \mathrm{nm}. Informações dadas:
  • Número de franjas que passaram: N=500.
  • Comprimento de onda: \lambda=550\\ \mathrm{nm}.
O que se pede: calcular D (em metros ou unidades convenientes).

Passo 2

Entender fisicamente como o deslocamento do espelho produz franjas:
  • Quando o espelho se move uma distância D, o caminho óptico da luz que vai e volta nesse braço muda em duas vezes essa distância, isto é, a diferença de caminho óptico entre os dois braços muda em \,2D. Isso acontece porque o raio percorre a distância D até o espelho e mais D ao retornar, somando 2D.
  • A cada vez que a diferença de caminho óptico muda de uma quantidade igual a um comprimento de onda \lambda, uma franja (por exemplo, de brilho a brilho ou de escura a escura) passa por um ponto fixo. Assim, o número de franjas N que passa está relacionado com a mudança total da diferença de caminho óptico por
N=\frac{2D}{\lambda}.
Esta fórmula é central: explica que deslocar o espelho gera mudança de caminho 2D, e cada \lambda dessa mudança corresponde a uma franja que passa.

Passo 3

Isolar D na relação e escrever a fórmula para calcular:
2D = N\lambda \quad\Rightarrow\quad D=\frac{N\lambda}{2}.
Aqui:
  • D é a distância que o espelho foi movido (unidades de comprimento).
  • N é o número de franjas que passaram (adimensional).
  • \lambda é o comprimento de onda (mesmas unidades de comprimento).

Passo 4

Substituir os valores numéricos (com cuidado nas unidades). Primeiro expresso \lambda em metros:
\lambda = 550\\ \mathrm{nm}=550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Agora calcular D:
D=\frac{N\lambda}{2}=\frac{500\cdot(550\times10^{-9}\\ \mathrm{m})}{2}.

Passo 5

Fazer a aritmética passo a passo:
  • Multiplicação 500\cdot550=275000.
  • Divisão por 2 275000/2=137500.
  • Portanto em nanômetros: D=137500\\ \mathrm{nm}.
  • Converter para metros: 137500\\ \mathrm{nm}=137500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=1,375\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para unidades mais usuais:
    • Em micrômetros: 1,375\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=137,5\\ \mu\mathrm{m}.
    • Em milímetros: 1,375\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,1375\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza (para ganhar confiança): mover o espelho cerca de 0,14\\ \mathrm{mm} fez passar 500 franjas; isto é razoável, porque uma única franja corresponde a movimento do espelho de \lambda/2=275\\ \mathrm{nm}, e 500\times275\\ \mathrm{nm}=137500\\ \mathrm{nm} bate com o cálculo anterior.

Resposta

D=1,375\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=137,5\\ \mu\mathrm{m}=0,1375\\ \mathrm{mm}

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