O International Standard Book Number (ISBN-10) é um identificador único para livros e consiste em um vetor tal que
Mostre que (0,4,4,9,5,0,8,3,5,6) não é um ISBN-10 válido. Supondo que o erro é no quinto dígito x5=5, encontre o ISBN-10 correto.
Passo 1
O enunciado nos diz que um ISBN-10 válido é um vetor l(d1,d2,dots,d10r)inF11^10 que satisfaz
1,d1+2,d2+cdots+10,d10=0 ;em;F11
Queremos mostrar que (0,4,4,9,5,0,8,3,5,6) não satisfaz essa condição e, supondo que o erro esteja em d5, encontrar o valor correto de d5.
Passo 2
Calculamos a soma com os dígitos fornecidos:
S =1cdot0+2cdot4+3cdot4+4cdot9+5cdot5+6cdot0+7cdot8+8cdot3+9cdot5+10cdot6 =266
Em F11 temos 266equiv266-11cdot24=266-264=2neq0, logo não é um ISBN-10 válido.
Passo 3
Agora suponha que o único erro é em d5, que chamaremos de x5. A soma passa a ser
S' = S - 5cdot5 + 5,x5 = 266 - 25 + 5,x5 = 241 + 5,x5
Queremos S'equiv0pmod11, isto é,
241 + 5,x5 equiv 0 pmod11
Note que 241equiv241-11cdot21=241-231=10, então
5,x5equiv -10equiv1pmod11
Como o inverso de 5 em F11 é 9 (pois 5cdot9=45equiv1), obtemos