O International Standard Book Number (ISBN-10) é um identificador único para livros e consiste em um vetor tal que
Mostre que um erro dado pela troca entre o quarto e quinto dígitos de (0,6,7,9,7,6,2,9,0,6) será detectado.
Passo 1
O enunciado diz que um ISBN--10 é uma sequência (d1,dots,d10)inF11^10 satisfazendo
1,d1+2,d2+cdots+10,d10=0em F11
Temos o ISBN correto (0,6,7,9,7,6,2,9,0,6) que de fato satisfaz a soma acima, e queremos mostrar que, ao trocar os dígitos de índice 4 e 5, a nova sequência não satisfaz mais essa condição — logo, o erro é detectado.
Passo 2
Vamos verificar brevemente que o ISBN original passa na checagem. Calculemos a soma ponderada em Z e depois reduzimos mod 11:
S &=1cdot0+2cdot6+3cdot7+4cdot9+5cdot7+6cdot6+7cdot2+8cdot9+9cdot0+10cdot6 &=0+12+21+36+35+36+14+72+0+60=286
Como 286=26cdot11, temos 286equiv0pmod11, ou seja, S=0 em F11.
Passo 3
Agora consideremos a sequência com os dígitos 4 e 5 trocados:
(0,6,7,underbrace7d4',underbrace9d5',6,2,9,0,6)
Só muda a contribuição das posições 4 e 5. Originalmente era
4cdot9 +5cdot7=36+35=71,
e após a troca fica
4cdot7 +5cdot9=28+45=73
O resto das parcelas permanece igual.
Passo 4
A diferença na soma total é
73-71=2
Portanto a nova soma ponderada em Z vale 286+2=288, e
288 equiv 2 pmod11,
ou seja, não é 0 em F11. Logo, o erro de transposição é detectado.
Resposta
Ao trocar os dígitos 4 e 5, a soma deixará de ser 0 em F11, pois passa a ser 2. Portanto o erro será detectado.