O International Standard Book Number (ISBN-10) é um identificador único para livros e consiste em um vetor (d1, d2, ldots, d10) in F11^10 tal que
1 cdot d1+2 cdot d2+3 cdot d3+cdots+9 cdot d9+10 cdot d10=0 in F11
Encontre d para que (0,3,8,7,9,7,9,9,3, d) e (0,3,9,4,7,5,6,8,2, d) sejam ISBN-10 válidos.

Passo 1

O enunciado trata do cálculo do dígito de verificação d10 em um ISBN-10, cujo critério de validade no corpo do corpo finito F11 é
1,d1 + 2,d2 + cdots + 9,d9 + 10,d10 = 0
Aqui vamos usar operações módulo 11 e o fato de que o inverso de 10 em F11 é 10, pois 10cdot10=100equiv1pmod11.

Passo 2

Denote
S = sumi=1^9 i,di pmod11
O termo restante obriga
10,d10 equiv -S pmod11,
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d10 equiv 10cdot(-S) equiv -10S pmod11

Passo 3

Para (0,3,8,7,9,7,9,9,3,d) calculamos
S = 1cdot0 + 2cdot3 + 3cdot8 + 4cdot7 + 5cdot9 + 6cdot7 + 7cdot9 + 8cdot9 + 9cdot3 = 307
Reduzindo módulo 11: 307equiv10. Assim
d equiv -10cdot10 equiv -100 equiv 10 pmod11

Passo 4

Para (0,3,9,4,7,5,6,8,2,d) temos
S = 1cdot0 + 2cdot3 + 3cdot9 + 4cdot4 + 5cdot7 + 6cdot5 + 7cdot6 + 8cdot8 + 9cdot2 = 238,
e 238equiv7pmod11. Logo
d equiv -10cdot7 equiv -70 equiv 7 pmod11

Resposta

Para (0,3,8,7,9,7,9,9,3,d) vale d=10.
Para (0,3,9,4,7,5,6,8,2,d) vale d=7.

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