Interpolar o ponto
na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede: interpolar o ponto
usando o polinômio interpolador de Lagrange a partir da tabela dada.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — a “tabela abaixo” mencionada não foi enviada junto com a pergunta.
Pergunta que preciso responder: calcular o valor interpolado em com o polinômio de Lagrange gerado pelos pontos da tabela.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — a “tabela abaixo” mencionada não foi enviada junto com a pergunta.
Pergunta que preciso responder: calcular o valor interpolado em
Passo 2
Por que não posso começar a calcular já? Porque o polinômio de Lagrange exige os pontos
da tabela. Sem esses pontos não há números para usar nas fórmulas — então falta informação essencial. Portanto, não é possível obter o valor numérico pedido até que você envie a tabela de pontos.
Passo 3
Mesmo assim, vou ensinar passo a passo como fazer a interpolação de Lagrange para que você consiga aplicar direto quando mandar a tabela — assim você já aprende e fica confiante para a prova.
Definição e fórmula:
onde cada polinômio base
é dado por
Explicando as variáveis:
-
é o número de pontos da tabela. -
é a abscissa do -ésimo ponto. -
é a ordenada correspondente. -
é um polinômio que vale em e em para .
Para obter o valor interpolado embasta calcular
ou seja, avaliar cada
em
e somar os produtos
.
Passo 4
Como calcular cada
na prática (passo a passo operacional):
- Para um índice fixo
, escreva o produto no numerador. - No denominador escreva
. - Calcule o numerador e o denominador separadamente com cuidado com sinais.
- Divida e obtenha
. - Multiplique por
. - Repita para todos os
e some os resultados.
Dicas para fazer sem calculadora:
- Cancele fatores comuns antes de multiplicar, se aparecerem.
- Trabalhe com frações sempre que possível para evitar muita aproximação.
- Use aritmética com vírgula (por exemplo
) e simplifique sinais cedo para não perder controle.
Passo 5
Vou mostrar um exemplo completo e explícito (usando uma tabela de exemplo) para você ver todas as contas e o raciocínio. Atenção: esses pontos são apenas um exemplo ilustrativo — substitua pelos pontos da sua tabela quando me enviar.
Exemplo (tabela exemplar): pontos
(note que aqui
, só para exemplo). Queremos
.
Calcule
para
:
Avalia em
:
Calcule
para
:
Avalia:
Calcule
para
:
Avalia:
Verificação rápida: as
somam 1:
Agora somamos
:
Então, para essa tabela exemplo,
. Esse bloco foi um modelo completo de como proceder.
Passo 6
Resumo do que você precisa me enviar (ou fazer na prova):
- A tabela com os pontos
. Alternativamente, envie pelo menos os e próximos a . - Com esses pontos eu aplico exatamente o procedimento acima e calculo
passo a passo usando Lagrange.
Força — você já tem o método completo aqui e, quando mandar a tabela, eu resolvo rapidinho para você e mostro as contas detalhadas.
Resposta
Não é possível interpolar em
: a tabela de pontos não foi fornecida.