Interpolar o ponto x=1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede: interpolar o ponto x=1,5 usando o polinômio interpolador de Lagrange a partir da tabela dada.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — a “tabela abaixo” mencionada não foi enviada junto com a pergunta.
Pergunta que preciso responder: calcular o valor interpolado em x=1,5 com o polinômio de Lagrange gerado pelos pontos da tabela.

Passo 2

Por que não posso começar a calcular já? Porque o polinômio de Lagrange exige os pontos (x_i,y_i) da tabela. Sem esses pontos não há números para usar nas fórmulas — então falta informação essencial. Portanto, não é possível obter o valor numérico pedido até que você envie a tabela de pontos.

Passo 3

Mesmo assim, vou ensinar passo a passo como fazer a interpolação de Lagrange para que você consiga aplicar direto quando mandar a tabela — assim você já aprende e fica confiante para a prova.
Definição e fórmula:
\text{Se temos }n\text{ pontos }(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)\text{ com abscissas distintas, o polinômio interpolador de Lagrange é}ôé
P(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\,\ell_i(x),
onde cada polinômio base \ell_i(x) é dado por
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=1\j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando as variáveis:
  • \;n\; é o número de pontos da tabela.
  • \;x_i\; é a abscissa do i-ésimo ponto.
  • \;y_i\; é a ordenada correspondente.
  • \;\ell_i(x)\; é um polinômio que vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i.
    Para obter o valor interpolado em x=1,5 basta calcular
P(1,5)=\sum_{i=1}^{n} y_i\,\ell_i(1,5),
ou seja, avaliar cada \ell_i(x) em x=1,5 e somar os produtos y_i\ell_i(1,5).

Passo 4

Como calcular cada \ell_i(1,5) na prática (passo a passo operacional):
  1. Para um índice fixo i, escreva o produto \prod_{j\ne i}(1,5-x_j) no numerador.
  2. No denominador escreva \prod_{j\ne i}(x_i-x_j).
  3. Calcule o numerador e o denominador separadamente com cuidado com sinais.
  4. Divida e obtenha \ell_i(1,5).
  5. Multiplique por y_i.
  6. Repita para todos os i=1,\dots,n e some os resultados.
Dicas para fazer sem calculadora:
  • Cancele fatores comuns antes de multiplicar, se aparecerem.
  • Trabalhe com frações sempre que possível para evitar muita aproximação.
  • Use aritmética com vírgula (por exemplo 1,5-2=-0,5) e simplifique sinais cedo para não perder controle.

Passo 5

Vou mostrar um exemplo completo e explícito (usando uma tabela de exemplo) para você ver todas as contas e o raciocínio. Atenção: esses pontos são apenas um exemplo ilustrativo — substitua pelos pontos da sua tabela quando me enviar.
Exemplo (tabela exemplar): pontos (1,1),\,(2,4),\,(3,9) (note que aqui y=x^2, só para exemplo). Queremos P(1,5).
Calcule \ell_1(1,5) para x_1=1:
\ell_1(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{(-1)(-2)}=\frac{(x-2)(x-3)}{2}.
Avalia em x=1,5:
\ell_1(1,5)=\frac{(1,5-2)(1,5-3)}{2}=\frac{(-0,5)(-1,5)}{2}=\frac{0,75}{2}=0,375.
Calcule \ell_2(1,5) para x_2=2:
\ell_2(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}=\frac{(x-1)(x-3)}{1\cdot(-1)}=-(x-1)(x-3).
Avalia:
\ell_2(1,5)=-(1,5-1)(1,5-3)=-(0,5)(-1,5)=0,75.
Calcule \ell_3(1,5) para x_3=3:
\ell_3(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2\cdot1}=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.
Avalia:
\ell_3(1,5)=\frac{(1,5-1)(1,5-2)}{2}=\frac{(0,5)(-0,5)}{2}=\frac{-0,25}{2}=-0,125.
Verificação rápida: as \ell_i(1,5) somam 1:
0,375+0,75-0,125=1.
Agora somamos y_i\ell_i(1,5):
P(1,5)=1\cdot 0,375 + 4\cdot 0,75 + 9\cdot(-0,125)=0,375+3,0-1,125=2,25.
Então, para essa tabela exemplo, P(1,5)=2,25. Esse bloco foi um modelo completo de como proceder.

Passo 6

Resumo do que você precisa me enviar (ou fazer na prova):
  • A tabela com os pontos (x_i,y_i). Alternativamente, envie pelo menos os x_i e y_i próximos a x=1,5.
  • Com esses pontos eu aplico exatamente o procedimento acima e calculo P(1,5) passo a passo usando Lagrange.
Força — você já tem o método completo aqui e, quando mandar a tabela, eu resolvo rapidinho para você e mostro as contas detalhadas.

Resposta

Não é possível interpolar em x=1,5: a tabela de pontos não foi fornecida.

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