Calcular
empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral
empregando o método dos trapézios com repetições (ou seja, ). - Determinar uma aproximação para o erro cometido por essa regra.
Informações dadas e que vamos usar:
, intervalo
, número de subdivisões
.
Passo 2
Explico o método dos trapézios de forma direta e prática (para você aplicar na prova):
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais de comprimento
- Os pontos são
. - A regra dos trapézios composta fornece a aproximação
Isto é: soma-se os valores interiores
, soma-se as extremidades
e multiplica-se por
, com as extremidades pesadas por
.
Sobre o erro: uma estimativa de cota para o erro do trapézio é dada por
onde
é um número tal que
para todo
. Vou usar essa fórmula para dar uma cota do erro. (Ela vem do termo de resto da expansão de Taylor; como estudante, decore a fórmula e saiba calcular
e seu máximo no intervalo.)
Passo 3
Calculemos os valores numéricos necessários.
Primeiro o passo
:
Logo os nós são
para
, ou seja
.
Agora avalie
nesses nós. Vou escrever as expressões exatas e depois aproximar numericamente (para somar):
Agora aproximações decimais (mantendo várias casas para precisão):
Somemos os valores interiores
:
Passo 4
Aplicando a fórmula do trapézio composta:
Como
,
,
, temos
Portanto
Assim a aproximação pelo método dos trapézios com 8 repetições é
Passo 5
Agora vamos calcular a integral exata para podermos estimar o erro verdadeiro (isso é útil para saber quão boa foi a aproximação). Faço a integral analiticamente por substituição:
Quando
,
. Quando
,
. Então
Integral de
é
. Assim
Como
, temos
. Logo
A integral exata vale
.
Passo 6
Calculemos o erro verdadeiro aproximado:
O erro absoluto é aproximadamente
.
Passo 7
Agora a cota teórica do erro usando a fórmula com
. Calcule
:
Temos
. Primeiro
Derivando de novo,
Então
. No intervalo
a função
é crescente, logo
é decrescente, e o máximo de
ocorre em
:
Aplique a fórmula da cota:
Calculemos numericamente:
, então numerador
. Denominador
. Assim
Portanto a cota teórica do erro (pela fórmula padrão) dá
. Observe que essa cota é conservadora (muito maior que o erro verdadeiro calculado), o que é comum para essa fórmula quando
não é muito grande ou quando
varia bastante.
Passo 8
Resumo numérico e interpretação rápida:
- Aproximação pelo trapézio com
: . - Erro verdadeiro aproximado:
. - Cota teórica via
: (cota bastante conservadora).
Força aí — ficou bem feito e dá pra ver que o trapézio com
já dá uma aproximação com erro menor que
.