Calcular \int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{9} \sqrt{6x-5}\,dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições (ou seja, n=8).
  2. Determinar uma aproximação para o erro cometido por essa regra.
Informações dadas e que vamos usar:
\displaystyle f(x)=\sqrt{6x-5}=(6x-5)^{1/2}, intervalo [a,b]=[1,9], número de subdivisões n=8.

Passo 2

Explico o método dos trapézios de forma direta e prática (para você aplicar na prova):
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os pontos são x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\dots,x_n=b.
  • A regra dos trapézios composta fornece a aproximação
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Isto é: soma-se os valores interiores f(x_i), soma-se as extremidades f(x_0)+f(x_n) e multiplica-se por h, com as extremidades pesadas por 1/2.
Sobre o erro: uma estimativa de cota para o erro do trapézio é dada por
|E_T|\le \frac{K(b-a)^3}{12n^2},
onde K é um número tal que |f''(x)|\le K para todo x\in[a,b]. Vou usar essa fórmula para dar uma cota do erro. (Ela vem do termo de resto da expansão de Taylor; como estudante, decore a fórmula e saiba calcular f'' e seu máximo no intervalo.)

Passo 3

Calculemos os valores numéricos necessários.
Primeiro o passo h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{9-1}{8}=\frac{8}{8}=1.
Logo os nós são x_i=1+i para i=0,\dots,8, ou seja 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Agora avalie f nesses nós. Vou escrever as expressões exatas e depois aproximar numericamente (para somar):
\begin{aligned} f(1)&=\sqrt{6\cdot1-5}=\sqrt{1}=1,\\\ f(2)&=\sqrt{6\cdot2-5}=\sqrt{7},\\\ f(3)&=\sqrt{6\cdot3-5}=\sqrt{13},\\\ f(4)&=\sqrt{19},\\\ f(5)&=\sqrt{25}=5,\\\ f(6)&=\sqrt{31},\\\ f(7)&=\sqrt{37},\\\ f(8)&=\sqrt{43},\\\ f(9)&=\sqrt{49}=7. \end{aligned}
Agora aproximações decimais (mantendo várias casas para precisão):
\begin{aligned} \sqrt{7}&\approx 2,64575131,\\\ \sqrt{13}&\approx 3,60555128,\\\ \sqrt{19}&\approx 4,35889894,\\\ \sqrt{31}&\approx 5,56776436,\\\ \sqrt{37}&\approx 6,08276253,\\\ \sqrt{43}&\approx 6,55743852. \end{aligned}
Somemos os valores interiores f(x_1)+\cdots+f(x_7):
\begin{aligned} S &= \sqrt{7}+\sqrt{13}+\sqrt{19}+5+\sqrt{31}+\sqrt{37}+\sqrt{43}\\\ &\approx 2,64575131+3,60555128+4,35889894+5+5,56776436+6,08276253+6,55743852\\\ &\approx 33,81816694. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando a fórmula do trapézio composta:
T_8 = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2} + S\right).
Como h=1, f(x_0)=1, f(x_8)=7, temos
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}=\frac{1+7}{2}=4.
Portanto
T_8 = 1\cdot(4 + 33,81816694)=37,81816694.
Assim a aproximação pelo método dos trapézios com 8 repetições é
T_8 \approx 37,81816694.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral exata para podermos estimar o erro verdadeiro (isso é útil para saber quão boa foi a aproximação). Faço a integral analiticamente por substituição:
\text{faça }u=6x-5\implies du=6\,dx,\quad dx=\frac{du}{6}.ç
Quando x=1, u=6\cdot1-5=1. Quando x=9, u=6\cdot9-5=49. Então
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx=\int_{1}^{49}\sqrt{u}\,\frac{du}{6}=\frac{1}{6}\int_{1}^{49} u^{1/2}\,du.
Integral de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx=\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{49}=\frac{1}{9}\left(49^{3/2}-1^{3/2}\right).
Como 49^{1/2}=7, temos 49^{3/2}=7^3=343. Logo
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx=\frac{1}{9}(343-1)=\frac{342}{9}=38.
A integral exata vale 38.

Passo 6

Calculemos o erro verdadeiro aproximado:
E_{\text{verdadeiro}} = \text{valor exato} - T_8 = 38 - 37,81816694 \approx 0,18183306.
O erro absoluto é aproximadamente 0,18183306.

Passo 7

Agora a cota teórica do erro usando a fórmula com f''. Calcule f''(x):
Temos f(x)=(6x-5)^{1/2}. Primeiro
f'(x)=\tfrac{1}{2}(6x-5)^{-1/2}\cdot 6 = 3(6x-5)^{-1/2}.
Derivando de novo,
f''(x)=3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(6x-5)^{-3/2}\cdot 6 = -9(6x-5)^{-3/2}.
Então |f''(x)|=9(6x-5)^{-3/2}. No intervalo [1,9] a função 6x-5 é crescente, logo (6x-5)^{-3/2} é decrescente, e o máximo de |f''| ocorre em x=1:
K=\max_{[1,9]}|f''(x)|=|f''(1)|=9(6\cdot1-5)^{-3/2}=9\cdot 1^{-3/2}=9.
Aplique a fórmula da cota:
|E_T|\le \frac{K(b-a)^3}{12n^2}=\frac{9\cdot (9-1)^3}{12\cdot 8^2}=\frac{9\cdot 8^3}{12\cdot 64}.
Calculemos numericamente: 8^3=512, então numerador 9\cdot512=4608. Denominador 12\cdot64=768. Assim
|E_T|\le \frac{4608}{768}=6.
Portanto a cota teórica do erro (pela fórmula padrão) dá |E_T|\le 6. Observe que essa cota é conservadora (muito maior que o erro verdadeiro calculado), o que é comum para essa fórmula quando n não é muito grande ou quando f'' varia bastante.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação rápida:
  • Aproximação pelo trapézio com n=8: T_8\approx 37,81816694.
  • Erro verdadeiro aproximado: |38-T_8|\approx 0,18183306.
  • Cota teórica via f'': |E_T|\le 6 (cota bastante conservadora).
Força aí — ficou bem feito e dá pra ver que o trapézio com n=8 já dá uma aproximação com erro menor que 0,2.

Resposta

T_8 \approx 37,81816694
|E_{\text{verdadeiro}}| \approx 0,18183306
|E_T| \le 6

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