O enunciado pede: resolver o sistema linear S_{4}\) dado por \(A\cdot x = b\) e apresentar a solução com arredondamento em duas casas decimais, usando eliminação de Gauss com pivoteamento completo. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} 8,7\,x_{1}+3,0\,x_{2}+9,3\,x_{3}+11,0\,x_{4}=16,4,\\[4pt] 24,5\,x_{1}-8,8\,x_{2}+11,5\,x_{3}-45,1\,x_{4}=-49,7,\\[4pt] 52,3\,x_{1}-84,0\,x_{2}-23,5\,x_{3}+11,4\,x_{4}=-80,8,\\[4pt] 21,0\,x_{1}-81,0\,x_{2}-13,2\,x_{3}+21,5\,x_{4}=-106,3. \end{cases}
O objetivo final é encontrar (x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}] com cada componente arredondada a duas casas decimais. A resolução efetiva começa no próximo passo.]
Passo 2
Breve explicação do método (didática e prática para a prova): pivoteamento completo significa que, em cada etapa k, procuramos o elemento de maior valor absoluto dentro da submatriz restante (linhas k\ldots n, colunas k\ldots n). Quando encontramos esse pivô em (i,j) (linha i, coluna j), permutamos a linha k com a linha i e a coluna k com a coluna j. Como permutamos colunas, precisamos manter um vetor de permutações p que relaciona a ordem das colunas atuais com as variáveis originais. Depois de colocar o pivô em posição (k,k) eliminamos as entradas abaixo dele na coluna k usando multiplicadores m_{i,k}=a_{i,k}/a_{k,k} e atualizamos as linhas: \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i,k}\cdot \text{linha}_k. Em cada operação numérica vou arredondar os resultados das entradas da matriz e do vetor coluna para duas casas decimais (isto é, após cada subtração ou multiplicação eu guardo o resultado com duas casas decimais). Isso é o que o enunciado exige e é o procedimento que você terá que aplicar na prova se lhe pedirem “arredondamento em duas casas decimais”.
Inicialmente defino o vetor de permutação das colunas como
p = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}
(isto indica que a coluna 1 corresponde inicialmente a x_{1}, coluna 2 a x_{2}, etc.). Vou atualizar p quando trocar colunas.
Agora aplico o algoritmo passo a passo, com todos os cálculos arredondados a duas casas decimais nas entradas resultantes (mas calculando os multiplicadores com precisão suficiente para evitar grandes resíduos).
Passo 3
Procuro o maior elemento em valor absoluto na matriz inteira; o maior valor absoluto é |-84,00|=84,00 que está em A_{3,2}. Para levar esse pivô para a posição (1,1) faço: troca da linha 1 com a linha 3 e troca da coluna 1 com a coluna 2. Atualizo p trocando p_{1} com p_{2}. Assim
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}.
Após as trocas (mostro a matriz aumentada [A\;|\;b] com entradas arredondadas a duas casas decimais):
onde agora a coluna 1 corresponde a x_{2} (pela permutação p) e a coluna 2 corresponde a x_{1}.]
Passo 4
Defino o pivô a_{11}=-84,00. Para cada linha i=2,3,4 calculo o multiplicador m_{i1}=a_{i1}/a_{11} (com precisão suficiente) e atualizo a linha i como \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1, arredondando as entradas resultantes a duas casas decimais.
Cálculos:
Para i=2: m_{21}=\dfrac{-8,80}{-84,00}=0,1047619\ldots.
Multiplicando e subtraindo (arredondando as entradas resultantes) obtém-se a nova linha 2:\text{linha}_2=[0,00,\;19,02,\;13,96,\;-46,29\;|\;-41,24].
Para i=3: m_{31}=\dfrac{3,00}{-84,00}=-0,0357143\ldots.
Nova linha 3:\text{linha}_3=[0,00,\;10,57,\;8,46,\;11,41\;|\;13,51].
Para i=4: m_{41}=\dfrac{-81,00}{-84,00}=0,9642857\ldots.
Nova linha 4:\text{linha}_4=[0,00,\;-29,37,\;9,49,\;10,51\;|\;-28,44].
Após a eliminação a matriz aumentada (com entradas arredondadas) fica:
Observe que a primeira coluna abaixo do pivô ficou (numericamente) nula em função do arredondamento das operações.]
Passo 5
Agora olho a submatriz formada pelas linhas e colunas 2\ldots 4. Procuro o maior elemento em valor absoluto dentro dessa submatriz: os candidatos são 19,02, 13,96, 46,29, 10,57, 8,46, 11,41, -29,37, 9,49, 10,51. O maior em valor absoluto é |-46,29|=46,29, que está na posição relativa (2,4) da matriz original (ou seja, linha 2, coluna 4 da matriz atual). Para levar esse pivô para a posição (2,2) troco a coluna 2 com a coluna 4 (mantendo as linhas). Atualizo o vetor de permutação trocando p_{2} com p_{4}:
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Após trocar as colunas 2 e 4, a matriz aumentada (arredondada) fica:
Agora a posição (2,2) contém o pivô a_{22}=-46,29.]
Passo 6
Com pivô a_{22}=-46,29 elimino as entradas abaixo na coluna 2 (linhas 3 e 4). Calculo os multiplicadores m_{32}=11,41/(-46,29) e m_{42}=10,51/(-46,29) com precisão suficiente e atualizo as linhas, arredondando resultados a duas casas decimais.
Cálculos e resultados arredondados:
m_{32}\approx -0,2465\ldots. Aplicando: linha 3 fica\text{linha}_3=[0,00,\;0,00,\;11,90,\;15,26\;|\;3,34].
m_{42}\approx -0,2269\ldots. Aplicando: linha 4 fica\text{linha}_4=[0,00,\;0,00,\;12,66,\;-25,05\;|\;-37,80].
Na submatriz formada pelas linhas e colunas 3\ldots4 os valores são 11,90, 15,26, 12,66, -25,05. O maior em valor absoluto é |-25,05|=25,05, que está na posição atual (4,4). Para levar esse pivô à posição (3,3) troco a linha 3 com a linha 4 e a coluna 3 com a coluna 4. Atualizo o vetor de permutação trocando as posições 3 e 4:
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Após as trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica (arredondada):
Com a_{33}=-25,05 elimino a entrada abaixo dele (linha 4, coluna 3). O multiplicador é m_{43}=15,26/(-25,05)\approx -0,6098\ldots. Atualizando a linha 4 e arredondando entradas:
É conveniente agora resolver por retro-substituição para obter as incógnitas na ordem das colunas atuais. Lembre-se de que a ordem atual das colunas corresponde ao vetor de permutação final p=(2,4,1,3): isto significa que a coluna 1 atual é x_{2}, coluna 2 atual é x_{4}, coluna 3 atual é x_{1} e coluna 4 atual é x_{3}.]
Passo 9
A retro-substituição resolve as incógnitas na ordem das colunas atuais, chamo-as de y_{1},y_{2},y_{3},y_{4} (onde y_{1} é a incógnita correspondente à coluna 1 atual, etc.). O sistema triangular é: