1. Resolva S_{4} com arredondamento em duas casas decimais, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo.
S_{4} \Rightarrow A \cdot x=b \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 8,7 x_{1}+3,0 x_{2}+9,3 x_{3}+11,0 x_{4}=16,4 \\ 24,5 x_{1}-8,8 x_{2}+11,5 x_{3}-45,1 x_{4}=-49,7 \\ 52,3 x_{1}-84,0 x_{2}-23,5 x_{3}+11,4 x_{4}=-80,8 \\ 21,0 x_{1}-81,0 x_{2}-13,2 x_{3}+21,5 x_{4}=-106,3 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear S_{4}\) dado por \(A\cdot x = b\) e apresentar a solução com arredondamento em duas casas decimais, usando eliminação de Gauss com pivoteamento completo. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 8,7\,x_{1}+3,0\,x_{2}+9,3\,x_{3}+11,0\,x_{4}=16,4,\\[4pt] 24,5\,x_{1}-8,8\,x_{2}+11,5\,x_{3}-45,1\,x_{4}=-49,7,\\[4pt] 52,3\,x_{1}-84,0\,x_{2}-23,5\,x_{3}+11,4\,x_{4}=-80,8,\\[4pt] 21,0\,x_{1}-81,0\,x_{2}-13,2\,x_{3}+21,5\,x_{4}=-106,3. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix} 8,7 & 3,0 & 9,3 & 11,0\\[2pt] 24,5 & -8,8 & 11,5 & -45,1\\[2pt] 52,3 & -84,0 & -23,5 & 11,4\\[2pt] 21,0 & -81,0 & -13,2 & 21,5 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}16,4\\[2pt]-49,7\\[2pt]-80,8\\[2pt]-106,3\end{pmatrix}.
O objetivo final é encontrar (x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}] com cada componente arredondada a duas casas decimais. A resolução efetiva começa no próximo passo.]

Passo 2

Breve explicação do método (didática e prática para a prova): pivoteamento completo significa que, em cada etapa k, procuramos o elemento de maior valor absoluto dentro da submatriz restante (linhas k\ldots n, colunas k\ldots n). Quando encontramos esse pivô em (i,j) (linha i, coluna j), permutamos a linha k com a linha i e a coluna k com a coluna j. Como permutamos colunas, precisamos manter um vetor de permutações p que relaciona a ordem das colunas atuais com as variáveis originais. Depois de colocar o pivô em posição (k,k) eliminamos as entradas abaixo dele na coluna k usando multiplicadores m_{i,k}=a_{i,k}/a_{k,k} e atualizamos as linhas: \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i,k}\cdot \text{linha}_k. Em cada operação numérica vou arredondar os resultados das entradas da matriz e do vetor coluna para duas casas decimais (isto é, após cada subtração ou multiplicação eu guardo o resultado com duas casas decimais). Isso é o que o enunciado exige e é o procedimento que você terá que aplicar na prova se lhe pedirem “arredondamento em duas casas decimais”.
Inicialmente defino o vetor de permutação das colunas como
p = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}
(isto indica que a coluna 1 corresponde inicialmente a x_{1}, coluna 2 a x_{2}, etc.). Vou atualizar p quando trocar colunas.
Agora aplico o algoritmo passo a passo, com todos os cálculos arredondados a duas casas decimais nas entradas resultantes (mas calculando os multiplicadores com precisão suficiente para evitar grandes resíduos).

Passo 3

Procuro o maior elemento em valor absoluto na matriz inteira; o maior valor absoluto é |-84,00|=84,00 que está em A_{3,2}. Para levar esse pivô para a posição (1,1) faço: troca da linha 1 com a linha 3 e troca da coluna 1 com a coluna 2. Atualizo p trocando p_{1} com p_{2}. Assim
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}.
Após as trocas (mostro a matriz aumentada [A\;|\;b] com entradas arredondadas a duas casas decimais):
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 52,30 & -23,50 & 11,40 & -80,80\\[2pt] -8,80 & 24,50 & 11,50 & -45,10 & -49,70\\[2pt] 3,00 & 8,70 & 9,30 & 11,00 & 16,40\\[2pt] -81,00 & 21,00 & -13,20 & 21,50 & -106,30 \end{array}\right],
onde agora a coluna 1 corresponde a x_{2} (pela permutação p) e a coluna 2 corresponde a x_{1}.]

Passo 4

Defino o pivô a_{11}=-84,00. Para cada linha i=2,3,4 calculo o multiplicador m_{i1}=a_{i1}/a_{11} (com precisão suficiente) e atualizo a linha i como \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1, arredondando as entradas resultantes a duas casas decimais.
Cálculos:
  • Para i=2: m_{21}=\dfrac{-8,80}{-84,00}=0,1047619\ldots.
    Multiplicando e subtraindo (arredondando as entradas resultantes) obtém-se a nova linha 2: \text{linha}_2=[0,00,\;19,02,\;13,96,\;-46,29\;|\;-41,24].
  • Para i=3: m_{31}=\dfrac{3,00}{-84,00}=-0,0357143\ldots.
    Nova linha 3: \text{linha}_3=[0,00,\;10,57,\;8,46,\;11,41\;|\;13,51].
  • Para i=4: m_{41}=\dfrac{-81,00}{-84,00}=0,9642857\ldots.
    Nova linha 4: \text{linha}_4=[0,00,\;-29,37,\;9,49,\;10,51\;|\;-28,44].
Após a eliminação a matriz aumentada (com entradas arredondadas) fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 52,30 & -23,50 & 11,40 & -80,80\\[2pt] 0,00 & -46,29 & 13,96 & 19,02 & -41,24\\[2pt] 0,00 & 10,57 & 8,46 & 11,41 & 13,51\\[2pt] 0,00 & -29,37 & 9,49 & 10,51 & -28,44 \end{array}\right].
Observe que a primeira coluna abaixo do pivô ficou (numericamente) nula em função do arredondamento das operações.]

Passo 5

Agora olho a submatriz formada pelas linhas e colunas 2\ldots 4. Procuro o maior elemento em valor absoluto dentro dessa submatriz: os candidatos são 19,02, 13,96, 46,29, 10,57, 8,46, 11,41, -29,37, 9,49, 10,51. O maior em valor absoluto é |-46,29|=46,29, que está na posição relativa (2,4) da matriz original (ou seja, linha 2, coluna 4 da matriz atual). Para levar esse pivô para a posição (2,2) troco a coluna 2 com a coluna 4 (mantendo as linhas). Atualizo o vetor de permutação trocando p_{2} com p_{4}:
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Após trocar as colunas 2 e 4, a matriz aumentada (arredondada) fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 11,40 & -23,50 & 52,30 & -80,80\\[2pt] 0,00 & -46,29 & 13,96 & 19,02 & -41,24\\[2pt] 0,00 & 11,41 & 8,46 & 10,57 & 13,51\\[2pt] 0,00 & 10,51 & 9,49 & -29,37 & -28,44 \end{array}\right].
Agora a posição (2,2) contém o pivô a_{22}=-46,29.]

Passo 6

Com pivô a_{22}=-46,29 elimino as entradas abaixo na coluna 2 (linhas 3 e 4). Calculo os multiplicadores m_{32}=11,41/(-46,29) e m_{42}=10,51/(-46,29) com precisão suficiente e atualizo as linhas, arredondando resultados a duas casas decimais.
Cálculos e resultados arredondados:
  • m_{32}\approx -0,2465\ldots. Aplicando: linha 3 fica \text{linha}_3=[0,00,\;0,00,\;11,90,\;15,26\;|\;3,34].
  • m_{42}\approx -0,2269\ldots. Aplicando: linha 4 fica \text{linha}_4=[0,00,\;0,00,\;12,66,\;-25,05\;|\;-37,80].
A matriz aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 11,40 & -23,50 & 52,30 & -80,80\\[2pt] 0,00 & -46,29 & 13,96 & 19,02 & -41,24\\[2pt] 0,00 & 0,00 & 11,90 & 15,26 & 3,34\\[2pt] 0,00 & 0,00 & 12,66 & -25,05 & -37,80 \end{array}\right].]

Passo 7

Na submatriz formada pelas linhas e colunas 3\ldots4 os valores são 11,90, 15,26, 12,66, -25,05. O maior em valor absoluto é |-25,05|=25,05, que está na posição atual (4,4). Para levar esse pivô à posição (3,3) troco a linha 3 com a linha 4 e a coluna 3 com a coluna 4. Atualizo o vetor de permutação trocando as posições 3 e 4:
p \leftarrow \begin{pmatrix}2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Após as trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica (arredondada):
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 11,40 & 52,30 & -23,50 & -80,80\\[2pt] 0,00 & -46,29 & 19,02 & 13,96 & -41,24\\[2pt] 0,00 & 0,00 & -25,05 & 12,66 & -37,80\\[2pt] 0,00 & 0,00 & 15,26 & 11,90 & 3,34 \end{array}\right].
Agora o pivô na posição (3,3) é a_{33}=-25,05.]

Passo 8

Com a_{33}=-25,05 elimino a entrada abaixo dele (linha 4, coluna 3). O multiplicador é m_{43}=15,26/(-25,05)\approx -0,6098\ldots. Atualizando a linha 4 e arredondando entradas:
\text{linha}_4 \leftarrow [0,00,\;0,00,\;0,00,\;19,63\;|\;-19,72].
Agora a matriz aumentada está na forma triangular superior (tudo arredondado a duas casas decimais):
\left[\begin{array}{cccc|c} -84,00 & 11,40 & 52,30 & -23,50 & -80,80\\[2pt] 0,00 & -46,29 & 19,02 & 13,96 & -41,24\\[2pt] 0,00 & 0,00 & -25,05 & 12,66 & -37,80\\[2pt] 0,00 & 0,00 & 0,00 & 19,63 & -19,72 \end{array}\right].
É conveniente agora resolver por retro-substituição para obter as incógnitas na ordem das colunas atuais. Lembre-se de que a ordem atual das colunas corresponde ao vetor de permutação final p=(2,4,1,3): isto significa que a coluna 1 atual é x_{2}, coluna 2 atual é x_{4}, coluna 3 atual é x_{1} e coluna 4 atual é x_{3}.]

Passo 9

A retro-substituição resolve as incógnitas na ordem das colunas atuais, chamo-as de y_{1},y_{2},y_{3},y_{4} (onde y_{1} é a incógnita correspondente à coluna 1 atual, etc.). O sistema triangular é:
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l} 19,63\,y_{4} &=& -19,72,\\[4pt] -25,05\,y_{3} + 12,66\,y_{4} &=& -37,80,\\[4pt] -46,29\,y_{2} + 19,02\,y_{3} + 13,96\,y_{4} &=& -41,24,\\[4pt] -84,00\,y_{1} + 11,40\,y_{2} + 52,30\,y_{3} - 23,50\,y_{4} &=& -80,80. \end{array}
Resolvo de baixo para cima (arredondando os resultados a duas casas decimais conforme pedido):
  • Da última linha (posição 4): y_{4}=\dfrac{-19,72}{19,63}\approx -1,0046\\ \Rightarrow\\ y_{4} \approx -1,00.
  • Linha 3: y_{3}=\dfrac{-37,80 - 12,66\,y_{4}}{-25,05}.Substituindo y_{4}\approx -1,00: y_{3}=\dfrac{-37,80 - 12,66\cdot(-1,00)}{-25,05}=\dfrac{-37,80 +12,66}{-25,05}=\dfrac{-25,14}{-25,05}\approx 1,0036\\ \Rightarrow\\ y_{3}\approx 1,00.
  • Linha 2: y_{2}=\dfrac{-41,24 - 19,02\,y_{3} - 13,96\,y_{4}}{-46,29}.Substituindo y_{3}\approx 1,00,\\ y_{4}\approx -1,00: y_{2}=\dfrac{-41,24 -19,02\cdot 1,00 -13,96\cdot(-1,00)}{-46,29} =\dfrac{-41,24 -19,02 +13,96}{-46,29}=\dfrac{-46,30}{-46,29}\approx 1,0002\\ \Rightarrow\\ y_{2}\approx 1,00.
  • Linha 1: y_{1}=\dfrac{-80,80 - 11,40\,y_{2} - 52,30\,y_{3} +23,50\,y_{4}}{-84,00}.Substituindo y_{2}\approx 1,00,\\ y_{3}\approx 1,00,\\ y_{4}\approx -1,00: y_{1}=\dfrac{-80,80 -11,40 -52,30 +23,50}{-84,00}=\dfrac{-168,00}{-84,00}=2,00.
Portanto, na ordem das colunas atuais (que é a ordem dada por p) obtemos:
y = \begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\\[2pt]y_{3}\\[2pt]y_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2,00\\[2pt]1,00\\[2pt]1,00\\[2pt]-1,00\end{pmatrix}.]

Passo 10

Lembre-se da permutação final p=(2,4,1,3): isso significa
\begin{array}{l} y_{1} \text{ corresponde a } x_{2},\\[2pt] y_{2} \text{ corresponde a } x_{4},\\[2pt] y_{3} \text{ corresponde a } x_{1},\\[2pt] y_{4} \text{ corresponde a } x_{3}. \end{array}
Assim, substituindo:
\begin{array}{l} x_{1} = y_{3} = 1,00,\\[2pt] x_{2} = y_{1} = 2,00,\\[2pt] x_{3} = y_{4} = -1,00,\\[2pt] x_{4} = y_{2} = 1,00. \end{array}]

Resposta

x_{1}=1,00
x_{2}=2,00
x_{3}=-1,00
x_{4}=1,00

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