Sabendo que a derivada direcional é uma taxa de variaçāo)de uma funçāo f(x, y), em um ponto P na direção de um vetor unitário u=(a, b) e é calculada po P, responda onde \vec{u} é um vetor unitário e \nabla f é o vetor gradiente de f no pon
(a) (10 pontos) Se a temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=e^{-x^{2}-3 y^{2}-9 z^{2}} onde T é medida em graus Celsius e x, y, z \mathrm{em} metros, qual taxa de variação da temperatura no ponto \mathcal{P}(3,2,1) na direção do vetor v=(2,2,1).
(b) ( 5 pontos) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?

Passo 1

Temos a função de temperatura
T(x,y,z)=e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}},
e queremos a derivada direcional em P=(3,2,1) na direção do vetor v=(2,2,1). O conteúdo usado é que, para uma função de três variáveis,
D_{u}T(P)=\nabla T(P)\cdot u,
onde u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular o vetor gradiente de T. As derivadas parciais são
\frac{\partial T}{\partial x}=-2x\,e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}},\quad \frac{\partial T}{\partial y}=-6y\,e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}},\quad \frac{\partial T}{\partial z}=-18z\,e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}}.
Logo,
\nabla T(x,y,z)=\bigl(-2x,\,-6y,\,-18z\bigr)\,e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}}.

Passo 3

Avaliar \nabla T em P=(3,2,1). O expoente fica
-(3)^{2}-3\,(2)^{2}-9\,(1)^{2}=-9-12-9=-30,
portanto
\nabla T(3,2,1)=\bigl(-6,\,-12,\,-18\bigr)\,e^{-30}.

Passo 4

Obter o vetor unitário u na direção de v=(2,2,1). Primeiro a norma:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=3.
Assim,
u=\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
D_{u}T(3,2,1) =\nabla T(3,2,1)\cdot u =\bigl(-6\cdot\tfrac{2}{3}+(-12)\cdot\tfrac{2}{3}+(-18)\cdot\tfrac{1}{3}\bigr)\,e^{-30} =-18\,e^{-30}.

Passo 6

A direção de maior crescimento de T em P é a direção do próprio gradiente \nabla T(3,2,1). Um versor nessa direção é
\frac{\nabla T(3,2,1)}{\|\nabla T(3,2,1)\|} =\frac{(-6,-12,-18)}{\sqrt{(-6)^{2}+(-12)^{2}+(-18)^{2}}} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},-\tfrac{2}{\sqrt{14}},-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Resposta

(a) A taxa de variação é -18\,e^{-30} graus por metro.
(b) A direção de maior crescimento é dada pelo versor
\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},-\tfrac{2}{\sqrt{14}},-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

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