Sabendo que a derivada direcional é uma taxa de variaçāo)de uma funçāo
, em um ponto
na direção de um vetor unitário
e é calculada po P, responda onde
é um vetor unitário e
é o vetor gradiente de
no pon
(a) (10 pontos) Se a temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medida em graus Celsius e
metros, qual taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do vetor
.
(b) ( 5 pontos) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
?
(a) (10 pontos) Se a temperatura em um ponto
(b) ( 5 pontos) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
Passo 1
Temos a função de temperatura
e queremos a derivada direcional em
na direção do vetor
. O conteúdo usado é que, para uma função de três variáveis,
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Calcular o vetor gradiente de
. As derivadas parciais são
Logo,
Passo 3
Avaliar
em
. O expoente fica
portanto
Passo 4
Obter o vetor unitário
na direção de
. Primeiro a norma:
Assim,
Passo 5
Calcular a derivada direcional:
Passo 6
A direção de maior crescimento de
em
é a direção do próprio gradiente
. Um versor nessa direção é
Resposta
(a) A taxa de variação é
graus por metro.
(b) A direção de maior crescimento é dada pelo versor
(b) A direção de maior crescimento é dada pelo versor