Qual é a interpretação microscópica do Módulo de Young?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a interpretação microscópica do módulo de Young, isto é, como ligar o valor macroscópico \displaystyle E=\tfrac{\sigma}{\varepsilon}
à natureza atômica ou molecular do material. Para isso, vamos lembrar que deformar o sólido armazena energia elástica, que microscopicamente vem das ligações interatômicas.
Passo 2
Macroscopicamente, para pequena deformação uniaxial temos que a energia elástica por volume inicial V_{0} é
Aqui k é a “constante de mola” efetiva de cada ligação.
Passo 4
Quando aplicamos uma pequena tensão uniaxial o sólido se estica: cada ligação se prolonga \Delta r\propto\varepsilon. Se tivermos N ligações em série ao longo do comprimento L_{0} e área de seção A, a deformação macroscópica é \displaystyle \varepsilon=\frac{N\,\Delta r}{N\,r_{0}}=\frac{\Delta r}{r_{0}}.
A força em cada ligação é F=k\,\Delta r, e a tensão é \sigma=F/A. Logo
Para um material tridimensional, somamos sobre todas as ligações por unidade de volume. O resultado geral é
E\sim \frac{1}{V_{0}}\sum_{\text{ligações}} \left.\frac{d^{2}U(r)}{dr^{2}}\right|_{r_{0}} \;\times\;(\text{distância de equilíbrio}).çõâí
Em outras palavras, o módulo de Young mede a curvatura do potencial de interação interatômica no mínimo de energia e a densidade dessas ligações no sólido.
Resposta
Microscopicamente, E é proporcional à segunda derivada do potencial interatômico no ponto de equilíbrio (a “rigidez” da ligação) multiplicada pela densidade de ligações por volume.