Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Enunciado em símbolos:
. - Universo de discurso: o conjunto dos números naturais.
- O pedido: (a) interpretar essa fórmula em linguagem natural; (b) determinar o valor-verdade (se a fórmula é verdadeira ou falsa sobre os naturais).
Passo 2
Significado dos símbolos usados (explicação didática, sem pular passos).
- O quantificador
significa “para todo” ou “para cada”. Então lê-se “para todo , é verdade”. - O conectivo
é a disjunção lógica “ou” (ou A ou B). Em lógica clássica, é verdadeira sempre que pelo menos uma das proposições ou for verdadeira. - O conectivo
é a conjunção lógica “e” (A e B). é verdadeira somente se tanto quanto forem verdadeiras. - Portanto a fórmula
lê-se: “Para todo número natural , ou ou ( e ).”
Passo 3
Traduzindo em linguagem bem natural e simples (com exemplos).
- Em palavras: “Para cada número natural
, ou é menor que , ou é maior que e menor que .” - Note que a condição "
e " significa que está estritamente entre e . Como estamos nos naturais (números inteiros não negativos), essa condição só pode ser satisfeita por . - A outra condição “
” é satisfeita por e se a convenção incluir entre os naturais; se os naturais começarem em , então só . Em todo caso, os valores inteiros que tornam a disjunção verdadeira são: (ou se não se considerar em ).
Passo 4
Como testar o valor-verdade de uma afirmação com
.
- Para provar que
é verdadeira seria preciso mostrar que é verdadeira para todo natural — isto é trabalhoso e exige uma prova geral. - Para mostrar que
é falsa basta encontrar um contraexemplo: um único tal que seja falso. Se existir pelo menos um natural para o qual a propriedade não vale, então a fórmula universal é falsa.
Passo 5
Encontro de um contraexemplo e avaliação passo a passo.
- Vamos testar
(que é um número natural em qualquer convenção comum). - Avaliando as duas partes para
: -
é falso. - Na conjunção:
é verdadeiro, mas é falso; logo é falso (porque conjunção exige que ambas sejam verdadeiras).
-
- Portanto a disjunção inteira para
é que é . - Conclusão:
é um contraexemplo, isto é, existe um número natural para o qual a propriedade não vale. Assim a afirmativa universal é falsa.
(Observação adicional: há muitos outros contraexemplos:
também falha, e qualquer
diferente de
falha. Só
satisfazem a propriedade quando
.)
Passo 6
Interpretação final e ideia prática para provas.
- Interpretação curta: “Para todo número natural
, é menor que ou é maior que e menor que .” Outra forma: “Todo natural é ou ou igual a .” - Valor-verdade: a fórmula é falsa porque existe
(por exemplo ) tal que a propriedade não vale. - Dica prática para a prova: quando vir
e desconfiar que não vale, tente encontrar um número simples (pequeno) que viole a propriedade; um único contraexemplo derruba a afirmação universal. Para mostrar verdade, aí sim é preciso um argumento que cubra todos os casos.
Resposta
Interpretação: Para todo número natural
, ou
ou (
e
).
Valor-verdade: Falso (contrexemplo: ).
Valor-verdade: Falso (contrexemplo: