Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
\forall n(n<2 \vee(n<5 \wedge n>3))

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Enunciado em símbolos: \forall n\bigl(n<2 \vee (n<5 \wedge n>3)\bigr).
  • Universo de discurso: o conjunto dos números naturais.
  • O pedido: (a) interpretar essa fórmula em linguagem natural; (b) determinar o valor-verdade (se a fórmula é verdadeira ou falsa sobre os naturais).

Passo 2

Significado dos símbolos usados (explicação didática, sem pular passos).
  • O quantificador \forall significa “para todo” ou “para cada”. Então \forall n\; P(n) lê-se “para todo n, P(n) é verdade”.
  • O conectivo \vee é a disjunção lógica “ou” (ou A ou B). Em lógica clássica, A\vee B é verdadeira sempre que pelo menos uma das proposições A ou B for verdadeira.
  • O conectivo \wedge é a conjunção lógica “e” (A e B). A\wedge B é verdadeira somente se tanto A quanto B forem verdadeiras.
  • Portanto a fórmula \forall n(n<2 \vee (n<5 \wedge n>3)) lê-se: “Para todo número natural n, ou n<2 ou ( n<5 e n>3 ).”

Passo 3

Traduzindo em linguagem bem natural e simples (com exemplos).
  • Em palavras: “Para cada número natural n, ou n é menor que 2, ou n é maior que 3 e menor que 5.”
  • Note que a condição " n<5 e n>3" significa que n está estritamente entre 3 e 5. Como estamos nos naturais (números inteiros não negativos), essa condição só pode ser satisfeita por n=\!4.
  • A outra condição “ n<2” é satisfeita por n=0 e n=1 se a convenção incluir 0 entre os naturais; se os naturais começarem em 1, então só n=1. Em todo caso, os valores inteiros que tornam a disjunção verdadeira são: \{\,0,1,4\,\} (ou \{\,1,4\,\} se não se considerar 0 em \mathbb{N}).

Passo 4

Como testar o valor-verdade de uma afirmação com \forall.
  • Para provar que \forall n\; P(n) é verdadeira seria preciso mostrar que P(n) é verdadeira para todo natural n — isto é trabalhoso e exige uma prova geral.
  • Para mostrar que \forall n\; P(n) é falsa basta encontrar um contraexemplo: um único n\in\mathbb{N} tal que P(n) seja falso. Se existir pelo menos um natural para o qual a propriedade não vale, então a fórmula universal é falsa.

Passo 5

Encontro de um contraexemplo e avaliação passo a passo.
  • Vamos testar n=\!2 (que é um número natural em qualquer convenção comum).
  • Avaliando as duas partes para n=\!2:
    • \,2<2 é falso.
    • Na conjunção: \,2<5 é verdadeiro, mas \,2>3 é falso; logo \,(2<5)\wedge(2>3) é falso (porque conjunção exige que ambas sejam verdadeiras).
  • Portanto a disjunção inteira para n=\!2 é 2<2 \vee (2<5 \wedge 2>3)que é \text{falso} \vee \text{falso} = \text{falso}.
  • Conclusão: n=\!2 é um contraexemplo, isto é, existe um número natural para o qual a propriedade não vale. Assim a afirmativa universal é falsa.
(Observação adicional: há muitos outros contraexemplos: n=\!3 também falha, e qualquer n\ge 2 diferente de 4 falha. Só n=0,1,4 satisfazem a propriedade quando 0\in\mathbb{N}.)

Passo 6

Interpretação final e ideia prática para provas.
  • Interpretação curta: “Para todo número natural n, n é menor que 2 ou n é maior que 3 e menor que 5.” Outra forma: “Todo natural é ou \,<2 ou igual a 4.”
  • Valor-verdade: a fórmula é falsa porque existe n\in\mathbb{N} (por exemplo \,n=2) tal que a propriedade não vale.
  • Dica prática para a prova: quando vir \forall e desconfiar que não vale, tente encontrar um número simples (pequeno) que viole a propriedade; um único contraexemplo derruba a afirmação universal. Para mostrar verdade, aí sim é preciso um argumento que cubra todos os casos.

Resposta

Interpretação: Para todo número natural \,n, ou \,n<2 ou ( \,n<5 e \,n>3).
Valor-verdade: Falso (contrexemplo: \,n=2).

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