Interprete geometricamente o Teorema de Fubini.
Passo 1
O Teorema de Fubini trata da integração dupla de uma função
num retângulo
e afirma que, se
for integrável em
, então
O conteúdo aqui é cálculo de volume sob a superfície
.
Passo 2
Geometricamente, a integral dupla
representa o volume contido entre a superfície
e o plano
, acima da região
. Em vez de calcular esse volume de uma só vez, o Teorema de Fubini permite “fatiá-lo” e somar essas fatias.
Passo 3
Na forma
fixamos um valor de
e integramos em
. Para cada
temos uma fatia vertical cujas “alturas” vão de
até
. A área dessa fatia é
e então somamos essas áreas multiplicadas pela espessura
. É como empilhar infinitos prismas verticais para formar o volume total.
Passo 4
Na forma
fixamos um valor de
e integramos em
. Agora as fatias são horizontais, de base em
e espessura
. A área de cada fatia é
e ao somar todas essas fatias obtemos o mesmo volume.
Passo 5
O ponto-chave é que, sob condições de integrabilidade, trocar a ordem de “fatiar” o volume — primeiro em
depois em
, ou vice-versa — não altera o resultado final. O Teorema de Fubini garante que ambas as somas de prismas infinitesimais cobrem exatamente o mesmo volume sob
.
Resposta
Geometricamente, o Teorema de Fubini diz que o volume sob a superfície
e acima da região retangular
pode ser obtido somando-se fatias verticais ou fatias horizontais, e ambas as formas de “fatiar” geram o mesmo resultado.