Interprete geometricamente o Teorema de Fubini.

Passo 1

O Teorema de Fubini trata da integração dupla de uma função f(x,y) num retângulo
R = [a,b]\times[c,d]
e afirma que, se f for integrável em R, então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\!\Bigl(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx = \int_{c}^{d}\!\Bigl(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.
O conteúdo aqui é cálculo de volume sob a superfície z=f(x,y).

Passo 2

Geometricamente, a integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dA representa o volume contido entre a superfície
z = f(x,y)
e o plano xy, acima da região R. Em vez de calcular esse volume de uma só vez, o Teorema de Fubini permite “fatiá-lo” e somar essas fatias.

Passo 3

Na forma
\int_{a}^{b}\!\Bigl(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx,
fixamos um valor de x e integramos em y. Para cada x temos uma fatia vertical cujas “alturas” vão de y=c até y=d. A área dessa fatia é
\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy,
e então somamos essas áreas multiplicadas pela espessura dx. É como empilhar infinitos prismas verticais para formar o volume total.

Passo 4

Na forma
\int_{c}^{d}\!\Bigl(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy,
fixamos um valor de y e integramos em x. Agora as fatias são horizontais, de base em x e espessura dy. A área de cada fatia é
\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx,
e ao somar todas essas fatias obtemos o mesmo volume.

Passo 5

O ponto-chave é que, sob condições de integrabilidade, trocar a ordem de “fatiar” o volume — primeiro em x depois em y, ou vice-versa — não altera o resultado final. O Teorema de Fubini garante que ambas as somas de prismas infinitesimais cobrem exatamente o mesmo volume sob z=f(x,y).

Resposta

Geometricamente, o Teorema de Fubini diz que o volume sob a superfície z=f(x,y) e acima da região retangular R pode ser obtido somando-se fatias verticais ou fatias horizontais, e ambas as formas de “fatiar” geram o mesmo resultado.

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