A interseção do hiperboloide de 2 folhas \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 com o plano x=3 é:
Escolha uma opção:
a. 2 pontos
b. Conjunto Vazio
O c. Hipérbole
O d. Elipse
e. 1 Ponto

Passo 1

Temos o hiperboloide de duas folhas dado por
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1
e queremos cortar por um plano paralelo a yz definido por x=3. O conteúdo é seção cônica de superfícies quadráticas: ao fixar x, obtemos uma curva no plano yz.

Passo 2

Substituímos x=3 na equação do hiperboloide:
\frac{3^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1.

Passo 3

Calculamos o valor numérico de \tfrac{3^{2}}{4} e rearranjamos:
\frac{9}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}.
Multiplicando por -1:
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{5}{4}.
Para escrever na forma canônica de elipse, dividimos ambos os lados por \tfrac{5}{4}:
\frac{y^{2}}{9\cdot\frac{5}{4}}+\frac{z^{2}}{16\cdot\frac{5}{4}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{\tfrac{45}{4}}+\frac{z^{2}}{20}=1.

Passo 4

Essa equação
\frac{y^{2}}{\tfrac{45}{4}}+\frac{z^{2}}{20}=1
é a forma padrão de uma elipse no plano yz, pois os coeficientes de y^{2} e z^{2} são positivos e a soma é igual a 1.

Resposta

d. Elipse

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