Intervalo de confiança - (2 pontos)
Amostra de \mathbf{n}=\mathbf{5 0} com média \mathbf{3 4} e desvio-padrão 10 .
Construa o intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional \mu.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Tamanho da amostra: n=50.
  • Média amostral: \bar{x}=34.
  • Desvio-padrão amostral: s=10.
  • Nível de confiança: 95\%.
Pergunta do enunciado: construir o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Entendendo o que vamos calcular e qual fórmula usar (aula rápida).
Um intervalo de confiança para a média é um intervalo central em torno da média amostral \bar{x} que, com certa confiança (aqui 95\%), contém a média verdadeira \mu. A forma geral é
\text{intervalo}=\bar{x}\pm (\text{quantil crítico})\times(\text{erro padrão}).íã
  • A média amostral \bar{x} é o centro do intervalo.
  • O erro padrão (standard error) mede a variabilidade da média amostral e é dado por \dfrac{s}{\sqrt{n}}, onde s é o desvio-padrão da amostra e n o tamanho da amostra.
  • O quantil crítico depende de como modelamos a distribuição da média amostral: se a variância populacional fosse conhecida usaríamos a distribuição normal (quantil z), mas quando a variância populacional é desconhecida (caso comum) usamos a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
Aqui a variância populacional é desconhecida (o enunciado deu s, não \sigma), então usamos a distribuição t com df=n-1. Isso é o procedimento correto, especialmente quando n não é enorme — e mesmo para n=50 é padrão usar t.

Passo 3

Determinar os parâmetros do t-crítico e o nível de significância.
  • Nível de confiança 1-\alpha = 0,95, então \alpha=0,05.
  • Para um intervalo bilateral usamos \alpha/2=0,025.
  • Graus de liberdade: df=n-1=50-1=49.
O quantil crítico é t_{0,025;49}, que é o valor de t tal que a área à direita é 0,025. Consultando tabela de t ou calculadora (procura por t com df=49 e probabilidade 0,975) obtemos aproximadamente
t_{0,025;49}\approx 2,0096.
(obs.: se você tiver somente tabela com poucos df, para df próximos a 50 o valor é bem próximo de 2,01. Para nível 95\% o z seria 1,96, mas aqui usamos t porque \sigma é desconhecida.)

Passo 4

Calcular o erro padrão (standard error) e perceber uma simplificação elegante.
Erro padrão:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{50}}.
Note que \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}, então
\frac{10}{\sqrt{50}}=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,4142.
Portanto SE=\sqrt{2}\approx 1,4142.

Passo 5

Calcular a margem de erro (quantil crítico vezes erro padrão).
Margem de erro:
E = t_{0,025;49}\times SE \approx 2,0096\times \sqrt{2}.
Fazendo a multiplicação:
E \approx 2,0096\times 1,4142 \approx 2,842.
Arredondando com precisão razoável, E\approx 2,84.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo de confiança aplicando \bar{x}\pm E.
  • Limite inferior:
\bar{x}-E = 34 - 2,842 \approx 31,158.
  • Limite superior:
\bar{x}+E = 34 + 2,842 \approx 36,842.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em provas):
  • Limite inferior \approx 31,16.
  • Limite superior \approx 36,84.

Passo 7

Interpretação final curta (como falar na prova).
O intervalo [31,16;\;36,84] significa: com 95\% de confiança, a média populacional \mu está entre 31,16 e 36,84. Isso não quer dizer que a probabilidade de \mu estar dentro do intervalo seja 95\% numa interpretação bayesiana; significa que se repetíssemos o processo muitas vezes, 95\% dos intervalos construídos do mesmo modo conteriam \mu.

Resposta

\mu\in[31,16;36,84]

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