Intervalo de confiança - (2 pontos)
Amostra de
com média
e desvio-padrão 10 .
Construa o intervalo de confiança de
para a média populacional
.
Construa o intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
. - Nível de confiança:
.
Pergunta do enunciado: construir o intervalo de confiança de
para a média populacional
.
Passo 2
Entendendo o que vamos calcular e qual fórmula usar (aula rápida).
Um intervalo de confiança para a média é um intervalo central em torno da média amostral
que, com certa confiança (aqui
), contém a média verdadeira
. A forma geral é
- A média amostral
é o centro do intervalo. - O erro padrão (standard error) mede a variabilidade da média amostral e é dado por
, onde é o desvio-padrão da amostra e o tamanho da amostra. - O quantil crítico depende de como modelamos a distribuição da média amostral: se a variância populacional fosse conhecida usaríamos a distribuição normal (quantil
), mas quando a variância populacional é desconhecida (caso comum) usamos a distribuição de Student com graus de liberdade.
Aqui a variância populacional é desconhecida (o enunciado deu
, não
), então usamos a distribuição
com
. Isso é o procedimento correto, especialmente quando
não é enorme — e mesmo para
é padrão usar
.
Passo 3
Determinar os parâmetros do
-crítico e o nível de significância.
- Nível de confiança
, então . - Para um intervalo bilateral usamos
. - Graus de liberdade:
.
O quantil crítico é
, que é o valor de
tal que a área à direita é
. Consultando tabela de
ou calculadora (procura por
com
e probabilidade
) obtemos aproximadamente
(obs.: se você tiver somente tabela com poucos df, para df próximos a
o valor é bem próximo de
. Para nível
o
seria
, mas aqui usamos
porque
é desconhecida.)
Passo 4
Calcular o erro padrão (standard error) e perceber uma simplificação elegante.
Erro padrão:
Note que
, então
Portanto
.
Passo 5
Calcular a margem de erro (quantil crítico vezes erro padrão).
Margem de erro:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando com precisão razoável,
.
Passo 6
Calcular os extremos do intervalo de confiança aplicando
.
- Limite inferior:
- Limite superior:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em provas):
- Limite inferior
. - Limite superior
.
Passo 7
Interpretação final curta (como falar na prova).
O intervalo
significa: com
de confiança, a média populacional
está entre
e
. Isso não quer dizer que a probabilidade de
estar dentro do intervalo seja
numa interpretação bayesiana; significa que se repetíssemos o processo muitas vezes,
dos intervalos construídos do mesmo modo conteriam
.