Teste de hipótese para proporção - ( 1,5 ponto)
Deseja-se verificar se a proporção de clientes satisfeitos é diferente de \mathbf{8 0 \%}.
Amostra: \mathbf{n}=\mathbf{2 0 0}, sendo \mathbf{1 5 0} satisfeitos.
Realize o teste a 5 \% :
  • Ho: \mathrm{p}=0,80
  • H_{1}: p \neq 0,80
Calcule o valor-z e conclua.

Passo 1

O enunciado pede para testar se a proporção de clientes satisfeitos é diferente de 0,80 usando uma amostra de tamanho n=200 com 150 satisfeitos, ao nível de significância 5\%. As hipóteses são:
H_0:\; p = 0,80
H_1:\; p \neq 0,80
Informações relevantes dadas:
n = 200,\quad x = 150,\quad \alpha = 0,05.

Passo 2

Vou usar o teste-z para proporção (teste de hipótese para proporção). A estatística de teste é
z = \frac{\widehat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde:
  • \widehat{p} é a proporção amostral (fração de sucessos na amostra);
  • p_0 é a proporção sob H_0;
  • n é o tamanho da amostra.
    Condição de validade (regra prática): devemos ter n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5. Vou checar isso depois.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \widehat{p}:
\widehat{p} = \frac{x}{n} = \frac{150}{200} = 0,75.

Passo 4

Verificação das condições de validade usando p_0=0,80:
n p_0 = 200 \cdot 0,80 = 160 \ge 5,
n(1-p_0) = 200 \cdot 0,20 = 40 \ge 5.
As condições estão satisfeitas, então o uso da aproximação normal (teste-z) é apropriado.

Passo 5

Calcular o erro padrão sob H_0:
\text{EP} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,80\cdot 0,20}{200}}.
Calculemos passo a passo:
0,80\cdot 0,20 = 0,16,
\frac{0,16}{200} = 0,0008,
\sqrt{0,0008} \approx 0,028284271.
Vou arredondar para quatro casas decimais quando necessário: \text{EP} \approx 0,02828.

Passo 6

Calcular a estatística z:
z = \frac{\widehat{p} - p_0}{\text{EP}} = \frac{0,75 - 0,80}{0,028284271} = \frac{-0,05}{0,028284271} \approx -1,76776695.
Arredondando para duas casas decimais: z \approx -1,77.

Passo 7

Decisão do teste (duas abordagens, que devem concordar):
  1. Usando valores críticos (teste bicaudal): para \alpha=0,05 os valores críticos são z_{\alpha/2}=\pm 1,96. Como |z|\approx 1,77 < 1,96, não rejeitamos H_0.
  2. Usando p-valor: o p-valor bicaudal é
\text{p-valor} = 2\Pr(Z \le z) = 2\Phi(-|z|).
Para |z|=1,7678 temos \Phi(-1,7678)\approx 0,0385, então
\text{p-valor} \approx 2\cdot 0,0385 = 0,077.
Como 0,077 > 0,05, novamente não rejeitamos H_0.

Passo 8

Interpretação contextual (em linguagem simples e motivadora): com os dados da amostra ( 150 satisfeitos em 200), a estatística de teste é aproximadamente -1,77 e o p-valor é cerca de 0,077. Isso significa que, ao nível de significância de 5\%, não há evidência suficiente para concluir que a proporção de clientes satisfeitos difere de 80\%. Está tudo certo em ficar inseguro — esse tipo de conclusão é comum: os dados sugerem uma proporção um pouco menor ( 75\%), mas a diferença não é grande o suficiente para ser estatisticamente significativa a 5\%.

Resposta

z \approx -1,77. Não rejeita H_0 ao nível de 5\% (p-valor \approx 0,077).

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