Teste de hipótese (média com
conhecido) - ( 1,5 ponto)
O tempo médio de atendimento é de
.
Após mudança, uma amostra de
registrou média 11 min .
Com
, teste:
-
-
Informe: estatística de teste, região crítica e decisão.
Após mudança, uma amostra de
Com
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede que realizemos o teste de hipótese especificado:
- Hipóteses:
- Média amostral:
(tirado da amostra) - Desvio padrão populacional conhecido:
- Tamanho da amostra:
- Nível de significância:
O que o exercício pede explicitamente: informe a estatística de teste, a região crítica e a decisão do teste (rejeitar ou não
).
Passo 2
Escolhemos a estatística apropriada: como
é conhecida e estamos testando a média, usamos o teste-z (teste para média com desvio padrão populacional conhecido). A estatística de teste é a padronização da média amostral sob
. Não calculamos nada ainda, só deixamos claro o objetivo.
Passo 3
Fórmula da estatística de teste (teste-z). Vou explicar cada termo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o valor da média sob (aqui ). -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ).
A razãoé o erro padrão da média: é a variação típica da média amostral em torno de quando é verdadeiro.
Passo 4
Calculemos o erro padrão
:
Expliquei:
, então dividimos 4 por 6.
Passo 5
Agora calculamos a estatística
substituindo os valores:
Interpretação: sob
,
segue distribuição normal padrão
. Obtivemos
.
Passo 6
Definir a região crítica para o teste unilateral à esquerda com
.
- Para um teste à esquerda tomamos o quantil
tal que . - Pelo quadro da normal padrão,
(ou arredondando). Ou seja, a região crítica em termos de é:
Passo 7
Podemos também expressar a região crítica em termos da média amostral
. Resolve-se a desigualdade
multiplicando por
(positivo) e somando
:
Calculemos o limite numérico:
Arredondando, a região crítica em termos de
é aproximadamente
.
Passo 8
Compare a estatística encontrada com a região crítica:
- Obtivemos
. - Região crítica exige
.
Como, o valor observado não cai na região crítica. Em termos da média: a média observada é maior que o corte , então também não está na região crítica.
Passo 9
Podemos calcular o p-valor para reforçar a decisão: o p-valor é
.
Pela tabela da normal padrão,
Pela tabela da normal padrão,
Como
, isso confirma que não rejeitamos
.
Passo 10
Conclusão final (decisão): com nível de significância de
, a evidência não é suficiente para rejeitar
. Ou seja, não há evidência estatística, ao nível de
, de que
seja menor que
.
Resposta
Estatística de teste:
Região crítica: (equivalente a
)
Decisão: Não rejeita ao nível
(p-valor
).
Região crítica:
Decisão: Não rejeita