Teste de hipótese (média com \sigma conhecido) - ( 1,5 ponto)
O tempo médio de atendimento é de \mathbf{1 2 ~ m i n}, \operatorname{com} \boldsymbol{\sigma}=\mathbf{4}.
Após mudança, uma amostra de \mathbf{n}=36 registrou média 11 min .
Com \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{5} \boldsymbol{\%}, teste:
  • \mathrm{H}_{0}: \mu=12
  • \mathrm{H}_{1}: \mu<12
Informe: estatística de teste, região crítica e decisão.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede que realizemos o teste de hipótese especificado:
  • Hipóteses:
H_0: \mu = 12
H_1: \mu < 12
  • Média amostral: \bar X = 11 (tirado da amostra)
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma = 4
  • Tamanho da amostra: n = 36
  • Nível de significância: \alpha = 5\%
O que o exercício pede explicitamente: informe a estatística de teste, a região crítica e a decisão do teste (rejeitar ou não H_0).

Passo 2

Escolhemos a estatística apropriada: como \sigma é conhecida e estamos testando a média, usamos o teste-z (teste para média com desvio padrão populacional conhecido). A estatística de teste é a padronização da média amostral sob H_0. Não calculamos nada ainda, só deixamos claro o objetivo.

Passo 3

Fórmula da estatística de teste (teste-z). Vou explicar cada termo:
Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
  • \bar X é a média amostral (aqui \bar X=11).
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui \mu_0=12).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=4).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=36).
    A razão \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média: é a variação típica da média amostral em torno de \mu_0 quando H_0 é verdadeiro.

Passo 4

Calculemos o erro padrão \sigma/\sqrt{n}:
\sigma/\sqrt{n} = \frac{4}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\approx 0,666\ldots
Expliquei: \sqrt{36}=6, então dividimos 4 por 6.

Passo 5

Agora calculamos a estatística Z substituindo os valores:
Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{11-12}{2/3}=\frac{-1}{2/3}=-\frac{3}{2}=-1{,}5.
Interpretação: sob H_0, Z segue distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1). Obtivemos Z=-1{,}5.

Passo 6

Definir a região crítica para o teste unilateral à esquerda com \alpha=5\%.
  • Para um teste à esquerda tomamos o quantil z_\alpha tal que P(Z < z_\alpha)=\alpha.
  • Pelo quadro da normal padrão, z_{0{,}05}\approx -1{,}645 (ou z_{0{,}05}=-1{,}6449 arredondando). Ou seja, a região crítica em termos de Z é:
\text{RC}=\{Z < -1{,}645\}.

Passo 7

Podemos também expressar a região crítica em termos da média amostral \bar X. Resolve-se a desigualdade
\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} < -1{,}645
multiplicando por \sigma/\sqrt{n} (positivo) e somando \mu_0:
\bar X < \mu_0 + (-1{,}645)\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Calculemos o limite numérico:
\mu_0 + (-1{,}645)\cdot\frac{2}{3} = 12 - 1{,}645\cdot\frac{2}{3}\approx 12 - 1{,}0967 \approx 10{,}9033.
Arredondando, a região crítica em termos de \bar X é aproximadamente \{\bar X < 10{,}903\}.

Passo 8

Compare a estatística encontrada com a região crítica:
  • Obtivemos Z=-1{,}5.
  • Região crítica exige Z< -1{,}645.
    Como -1{,}5 > -1{,}645, o valor observado não cai na região crítica. Em termos da média: a média observada \bar X=11 é maior que o corte 10{,}903, então também não está na região crítica.

Passo 9

Podemos calcular o p-valor para reforçar a decisão: o p-valor é P(Z \le -1{,}5).
Pela tabela da normal padrão,
\text{p-valor} = \Phi(-1{,}5)\approx 0{,}0668.
Como 0{,}0668 > \alpha=0{,}05, isso confirma que não rejeitamos H_0.

Passo 10

Conclusão final (decisão): com nível de significância de 5\%, a evidência não é suficiente para rejeitar H_0. Ou seja, não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que \mu seja menor que 12.

Resposta

Estatística de teste: Z=-1{,}5
Região crítica: \{Z < -1{,}645\} (equivalente a \{\bar X < 10{,}903\})
Decisão: Não rejeita H_0 ao nível \alpha=5\% (p-valor \approx 0{,}0668).

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