Para o intervalo que contém um zero da função f(x)=x+e^x encontrado no item (a), pode-se garantir que existe um único zero desta função? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre a função $ f(x) = x + e^{x} $ e quer saber se, no intervalo onde encontramos um zero dessa função no item (a), podemos garantir que esse zero é único. Vamos usar conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um “zero” de uma função é o valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Então, estamos procurando soluções para $ x + e^{x} = 0 $.

Passo 3

Para garantir que existe apenas um zero, vamos analisar o comportamento da função $ f(x) $. Sabemos que $ e^{x} $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $, e $ x $ pode ser positivo ou negativo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $ para entender se a função é crescente ou decrescente. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 5

Observando $ f’(x) = 1 + e^{x} $, vemos que $ e^{x} $ é sempre positivo, então $ f’(x) $ é sempre maior que 1. Isso significa que a função $ f(x) $ é sempre crescente.

Passo 6

Como $ f(x) $ é estritamente crescente, isso implica que ela pode cruzar o eixo $ x $ no máximo uma vez. Ou seja, só pode ter um único zero no intervalo considerado.

Resposta

Sim, a função $ f(x) = x + e^{x} $ tem exatamente um zero no intervalo, pois ela é estritamente crescente, garantindo assim a unicidade desse zero.

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