A taxa de variação da receita da indústria de computadores e processamento de dados nos Estados Unidos, entre 1985 e 1998, pode ser modelado pela função dR / dt=0,1056 cdot t^2+550,9 cdot e^-t, onde R é a receita (em bilhões de dólares) e t=5 representa o ano de 1985. Em 1985, a receita foi de 45,1 bilhões de dólares (Fonte Census Bureau).
Escreva um modelo para a receita em função de t?

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: temos a taxa de variação da receita dada por dRdt=0,1056,t^2+550,9,e^-t e a condição inicial de que, em 1985 (que equivale a t=5), a receita foi de R(5)=45,1 bilhões de dólares. O que precisamos é encontrar o modelo R(t).

Passo 2

Como o conteúdo é integração de taxas de variação, sabemos que R(t) é uma primitiva de dRdt. Vamos integrar termo a termo:
integral0,1056,t^2,dt=0,1056cdott^33=0,0352,t^3
integral550,9,e^-t,dt=-550,9,e^-t

Passo 3

Logo, uma expressão geral é R(t)=0,0352,t^3-550,9,e^-t+C. Agora usamos a condição inicial R(5)=45,1 para achar C. Substituindo t=5:
45,1=0,0352cdot5^3-550,9,e^-5+C

Passo 4

Sabendo que 0,0352cdot125=4,4 e 550,9,e^-5approx3,713, temos
45,1=4,4-3,713+CLongrightarrow Capprox44,413

Passo 5

Assim, o modelo final da receita em função de t fica
R(t)=0,0352,t^3-550,9,e^-t+44,413

Resposta

A receita em função de t (em bilhões de dólares) é R(t)=0,0352,t^3-550,9,e^-t+44,413.

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