integral(16 xraiz8 x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 16xraiz8x^2+1,dx
Isso é um exercício de integração por substituição, pois dentro da raiz temos a expressão 8x^2+1 cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 8x^2 + 1
Diferenciando, temos
du = 16x,dx
Ou seja, o numerador 16x,dx se transforma exatamente em du.

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
integral 16xraiz8x^2+1,dx = integral 1raizu,du = integral u^-1/2,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
integral u^-1/2,du = 2u^1/2 + C = 2raizu + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u=8x^2+1. A solução fica:
2raiz8x^2+1 + C

Resposta

2\sqrt{8x^2+1} + C

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