O intervalo de convergência da série é:
a) b) c) d) e) f) NDR
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Isso envolve conhecimentos de séries de potências e teste da razão para verificar onde a série converge. Vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série que temos:
Aqui, $ (x-1)^{n} $ é a parte que depende de $ x $, e o denominador $ n \cdot 5^{2n} $ controla o comportamento da série.
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o valor de $ x $ para o qual a série converge. O teste funciona assim:
Para uma série , calculamos:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, identifique $ a_n $:
an
Agora, calcule $ a_{n+1} $:
an = (x-1)^nn cdot 5^2n
Passo 5
Agora, vamos montar a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Passo 7
Para que a série convirja, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso significa que:
| x-125 | < 1
Passo 8
Agora, vamos resolver essa desigualdade para $ x $:
Multiplicando todos os lados por 25:
x
Agora, somando 1 em todos os lados:
-25 < x - 1 < 25
Passo 9
Então, o intervalo de convergência é $ x $ pertencente a $ (-24, 26) $. Porém, precisamos verificar as extremidades para ver se a série converge nesses pontos.