O intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-1)^nn 5^2 n é:
a) [-24,26) b) (-5,5] c) [-5,5) d) [-25,26) e) (-20,20) f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-1)^nn cdot 5^2n. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e teste da razão para verificar onde a série converge. Vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série que temos:
sumn=1^infty (x-1)^nn cdot 5^2n
Aqui, $ (x-1)^{n} $ é a parte que depende de $ x $, e o denominador $ n \cdot 5^{2n} $ controla o comportamento da série.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o valor de $ x $ para o qual a série converge. O teste funciona assim:
Para uma série x , calculamos:
sum an
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, identifique $ a_n $:
an
Agora, calcule $ a_{n+1} $:
an = (x-1)^nn cdot 5^2n

Passo 5

Agora, vamos montar a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an
Simplificando:
an+1an = (x-1)^n+1(n+1) cdot 5^2(n+1) cdot n cdot 5^2n(x-1)^n = (x-1) cdot n(n+1) cdot 25

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 7

Para que a série convirja, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso significa que:
| x-125 | < 1

Passo 8

Agora, vamos resolver essa desigualdade para $ x $:
Multiplicando todos os lados por 25:
x
Agora, somando 1 em todos os lados:
-25 < x - 1 < 25

Passo 9

Então, o intervalo de convergência é $ x $ pertencente a $ (-24, 26) $. Porém, precisamos verificar as extremidades para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 10

Vamos testar $ x = -24 $:
Substituindo na série:
x = -24
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Agora, testar $ x = 26 $:
sumn=1^infty (-24 -1)^nn cdot 5^2n = sumn=1^infty (-25)^nn cdot 25^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é [-24, 26). A alternativa correta é a letra a) [-24,26).

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