\int\left(3 x^{2}+x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3x^{2}+x+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)\,dx.
Aqui usamos a linearidade da integral (podemos somar integrais) e a regra de potenciais, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Separamos a integral em três pedaços:
\int 3x^{2}\,dx \;+\;\int x\,dx\;+\;\int x^{-3}\,dx.

Passo 3

Integramos cada termo aplicando a regra de potenciais:
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3},
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Somamos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C.

Resposta

x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C

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