\int\left(3 e^{\pi}+\frac{4}{x}+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left(3 e^{\pi}+\frac{4}{x}+\sqrt{x}\right)\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Há três parcelas sendo somadas dentro da integral: \;3 e^{\pi}\;,\;\dfrac{4}{x}\;,\;\sqrt{x}.
  • \;e^{\pi}\; é um número constante (não depende de x).
  • \dfrac{4}{x} = 4x^{-1}.
  • \sqrt{x} = x^{1/2}.
    A integral indefinida pede uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral.
\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx,
onde k é constante.
  • Regra do poder (power rule) para integrais: para \;n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real; essa fórmula falha apenas quando n=-1.
  • Caso especial para \;x^{-1}: temos
\int \frac{1}{x}\,dx = \int x^{-1}\,dx = \ln|x|+C.
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural \ln só aceita argumentos positivos, mas a primitiva válida para x negativo também usa \ln|x|.

Passo 3

Aplicando linearidade e fator constante: separar a integral em três integrais.
\int\left(3 e^{\pi}+\frac{4}{x}+\sqrt{x}\right)\,dx = \int 3 e^{\pi}\,dx + \int \frac{4}{x}\,dx + \int \sqrt{x}\,dx.
Agora tratamos cada termo individualmente.

Passo 4

Integral do termo constante \;3 e^{\pi}:
Como \;3 e^{\pi} é constante em relação a x, pela regra do fator constante
\int 3 e^{\pi}\,dx = 3 e^{\pi} \int 1\,dx = 3 e^{\pi}\,x.
Explicando: integrar 1 x, então multiplicamos por 3 e^{\pi}.

Passo 5

Integral do termo \dfrac{4}{x}:
Escrevendo como potência: \dfrac{4}{x}=4x^{-1}. Usando a regra especial para x^{-1},
\int \frac{4}{x}\,dx = 4\int x^{-1}\,dx = 4\ln|x|.
Lembrete: usamos \ln|x| por causa do domínio do logaritmo.

Passo 6

Integral do termo \sqrt{x}:
Primeiro reescrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando a regra do poder com n=\tfrac{1}{2}:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{x^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Detalhe do cálculo: 1/2+1=3/2 e dividir por 3/2 equivale a multiplicar por 2/3.

Passo 7

Somando as três primitivas e acrescentando a constante de integração única C:
F(x)=3 e^{\pi}x + 4\ln|x| + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.
Podemos, se quisermos, verificar derivando F(x) e confirmando que voltamos à integranda.

Resposta

3 e^{\pi}x + 4\ln|x| + \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C

Exercícios relacionados