Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- Há três parcelas sendo somadas dentro da integral:
. -
é um número constante (não depende de ). -
. -
.
A integral indefinida pede uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma funçãotal que seja a integranda, mais uma constante de integração .
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral.
onde
é constante.
- Regra do poder (power rule) para integrais: para
,
Aqui
é um número real; essa fórmula falha apenas quando
.
- Caso especial para
: temos
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural
só aceita argumentos positivos, mas a primitiva válida para
negativo também usa
.
Passo 3
Aplicando linearidade e fator constante: separar a integral em três integrais.
Agora tratamos cada termo individualmente.
Passo 4
Integral do termo constante
:
Como é constante em relação a
, pela regra do fator constante
Como
Explicando: integrar
dá
, então multiplicamos por
.
Passo 5
Integral do termo
:
Escrevendo como potência: . Usando a regra especial para
,
Escrevendo como potência:
Lembrete: usamos
por causa do domínio do logaritmo.
Passo 6
Integral do termo
:
Primeiro reescrevemos . Aplicando a regra do poder com
:
Primeiro reescrevemos
Detalhe do cálculo:
e dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 7
Somando as três primitivas e acrescentando a constante de integração única
:
Podemos, se quisermos, verificar derivando
e confirmando que voltamos à integranda.