Calcule as integrais abaixo.
\int\left(x^{99}-x+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{99}-x+e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: \,x^{99}, -x e e^{x}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Propriedade que vamos usar (não resolvendo ainda): a integral é linear, ou seja,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e constantes podem sair da integral:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Então podemos decompor
\int\left(x^{99}-x+e^{x}\right)\,dx=\int x^{99}\,dx-\int x\,dx+\int e^{x}\,dx.

Passo 3

Integral do termo \,x^{99}.
Fórmula (regra do poder): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=99, logo
\int x^{99}\,dx=\frac{x^{100}}{100}.
Verificação rápida: diferenciando \dfrac{x^{100}}{100} obtém-se \dfrac{100x^{99}}{100}=x^{99}, portanto está correto.

Passo 4

Integral do termo -x.
Escreve-se como -\int x\,dx. Aplicando a regra do poder com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},
portanto
-\int x\,dx=-\frac{x^{2}}{2}.
Verificação: \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)=-x.

Passo 5

Integral do termo e^{x}.
Fato importante: a função e^{x} é a única função (exceto constantes multiplicativas) cuja derivada é ela mesma. Por isso
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Verificação: \dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.

Passo 6

Somando as primitivas dos três termos e reunindo a constante de integração num único C, obtemos a primitiva da função toda:
\int\left(x^{99}-x+e^{x}\right)\,dx=\frac{x^{100}}{100}-\frac{x^{2}}{2}+e^{x}+C.
Verificação final (opcional): diferenciando termo a termo retorna x^{99}-x+e^{x}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{100}}{100}-\frac{x^{2}}{2}+e^{x}+C

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