Considere as n-1 diagonais de um polígono regular de n lados inscrito no círculo unitário, obtidas ligando um vértice fixo aos demais vértices. Mostre que o produto de seus comprimentos é n. (Sugestão: escolha o vértice z_{1}=1, ligue-o aos demais vértices e use o resultado do problema anterior.)

Passo 1

O enunciado dá um polígono regular de n lados inscrito no círculo unitário e pede para mostrar que o produto dos comprimentos das n-1 diagonais obtidas ligando um vértice fixo a todos os outros vértices vale n. A sugestão diz para escolher o vértice z_{1}=1 (no círculo unitário) e ligar esse vértice a todos os demais vértices. Informações relevantes que temos:
  • O polígono é regular e está inscrito no círculo unitário (centro na origem, raio 1).
  • Escolhemos o vértice fixo z_{1}=1.
  • Os demais vértices são os outros n-1 pontos igualmente espaçados no círculo unitário.
  • Precisamos mostrar que o produto dos comprimentos das diagonais partindo de z_{1}=1 até cada outro vértice é igual a n.
    A partir daqui começamos a resolver explicitando as coordenadas complexas dos vértices e usando identidades algébricas.

Passo 2

Descrever os vértices com complexos: como os vértices são igualmente espaçados no círculo unitário, eles são as raízes n-ésimas da unidade. Defina
\omega = e^{2\pi i / n}.
Então os vértices podem ser escritos como
z_k = \omega^{k-1},\qquad k=1,2,\dots,n,
onde z_1=\omega^{0}=1. Explicação curta: cada \omega^{k-1} tem módulo 1 (pois |\omega|=1) e os argumentos estão igualmente espaçados por 2\pi/n, portanto descrevem exatamente os vértices do polígono regular inscrito no círculo unitário.

Passo 3

Explicar os comprimentos das diagonais em termos complexos: a diagonal que liga z_1=1 ao vértice z_k tem comprimento igual à distância no plano complexo entre 1 e z_k, ou seja
\text{comprimento do segmento }1z_k = |1 - z_k|.
O produto pedido no enunciado é portanto
\prod_{k=2}^{n} |1 - z_k|.
Nosso objetivo agora é calcular esse produto. Uma ideia útil é primeiro calcular o produto sem o módulo, \prod_{k=2}^{n} (1 - z_k), usando factorização de polinômios, e depois tirar o módulo.

Passo 4

Usar a fatoração de x^n-1. Sabemos a identidade algébrica (aquela que é normalmente vista quando se estuda séries geométricas e raízes da unidade):
x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1).
Por outro lado, como os z_k são todas as raízes de x^n-1, podemos escrever a fatoração em termos lineares:
x^n-1=\prod_{k=1}^{n}(x-z_k)=(x-1)\prod_{k=2}^{n}(x-z_k).
Comparando as duas expressões e dividindo por x-1 (válido como identidade polinomial), obtemos a igualdade de polinômios
x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=\prod_{k=2}^{n}(x-z_k).
Aqui explico o que isso significa: o polinômio do lado esquerdo é exatamente o produto dos termos lineares (x-z_k) para k=2,\dots,n.

Passo 5

Avaliar a identidade no ponto x=1. Como a igualdade anterior é uma identidade de polinômios válida para todo x, podemos substituí-la em x=1. No lado esquerdo temos a soma de n termos iguais a 1, portanto
1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots+1+1 = n.
No lado direito, ao substituir x=1, obtemos o produto buscado (sem módulo):
\prod_{k=2}^{n}(1-z_k) = n.
Portanto vimos que o produto complexo \prod_{k=2}^{n}(1-z_k) é exatamente o número real n.

Passo 6

Passar para os módulos (comprimentos) usando propriedades do módulo complexo. Para quaisquer complexos a_1,\dots,a_{m} vale a propriedade
\left|\prod_{j=1}^{m} a_j\right|=\prod_{j=1}^{m} |a_j|.
Aplicando isso ao produto acima, obtemos
\prod_{k=2}^{n} |1-z_k| = \left|\prod_{k=2}^{n} (1-z_k)\right| = |n| = n,
pois n é um inteiro positivo e seu módulo é ele mesmo. Logo o produto dos comprimentos das n-1 diagonais a partir de z_1=1 vale n.

Resposta

n

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