\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: x^{2}, 1 e \dfrac{1}{x^{2}+1}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}+1+\dfrac{1}{x^{2}+1}.
  • Como é uma integral indefinida, devemos incluir a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Observação essencial sobre integrais: a integral é linear. Isso significa que podemos integrar termo a termo:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 1\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Vou integrar cada parcela separadamente e depois somar os resultados. Isso facilita muito — é como quebrar uma tarefa grande em pedacinhos.

Passo 3

Integrando o primeiro termo \int x^{2}\,dx.
Regra útil (regra da potência): para qualquer real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2. Aplicando a regra:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Explicando devagar: elevamos x à potência 2 para 3 e dividimos por 3. Não esquece o + constante que será colocada ao final.

Passo 4

Integrando o segundo termo \int 1\,dx.
Integração de constante: se k é constante então
\int k\,dx = kx + C.
Aqui k=1, portanto
\int 1\,dx = x.
Isso é intuitivo: a derivada de x é 1, então a primitiva de 1 é x.

Passo 5

Integrando o terceiro termo \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Conhecimento chave: a função \arctan x (arcotangente) tem derivada
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto, uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x. Assim,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Se quiser ver por que essa derivada é essa: derive \tan y=x implicitamente ou consulte tabelas de derivadas básicas; aqui usamos esse fato padrão.

Passo 6

Somando as primitivas encontradas para cada termo (lembrando da linearidade):
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x + \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confere na prova — é sempre bom checar): derivando o resultado obtido
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3} + x + \arctan x + C\right) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}+1},
que coincide com o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3} + x + \arctan x + C

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