Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Como é uma integral indefinida, devemos incluir a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Observação essencial sobre integrais: a integral é linear. Isso significa que podemos integrar termo a termo:
Vou integrar cada parcela separadamente e depois somar os resultados. Isso facilita muito — é como quebrar uma tarefa grande em pedacinhos.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
.
Regra útil (regra da potência): para qualquer real
,
Aqui
. Aplicando a regra:
Explicando devagar: elevamos
à potência
para
e dividimos por
. Não esquece o
constante que será colocada ao final.
Passo 4
Integrando o segundo termo
.
Integração de constante: se
é constante então
Aqui
, portanto
Isso é intuitivo: a derivada de
é
, então a primitiva de
é
.
Passo 5
Integrando o terceiro termo
.
Conhecimento chave: a função
(arcotangente) tem derivada
Portanto, uma primitiva de
é
. Assim,
Se quiser ver por que essa derivada é essa: derive
implicitamente ou consulte tabelas de derivadas básicas; aqui usamos esse fato padrão.
Passo 6
Somando as primitivas encontradas para cada termo (lembrando da linearidade):
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confere na prova — é sempre bom checar): derivando o resultado obtido
que coincide com o integrando original. Portanto a primitiva está correta.