Calcule as integrais a seguir
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral definida \int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,d x.
Informações dadas: o integrando é x e^{-x^{2}}, a variável de integração é x e os limites são x=0 e x=1.
Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que pensar em substituição): aqui temos um produto onde aparece x multiplicando uma função de x^{2}, isto é e^{-x^{2}}. Quando enxergamos algo como "uma função de x^{2}" multiplicada por x, é natural tentar a substituição que simplifica a parte x^{2}. Vamos definir uma nova variável:
u = x^{2}.
Agora explico o que significa d u: diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{d u}{d x} = 2x.
Isto quer dizer que, em termos de diferenciais,
d u = 2x\,d x.
Como queremos substituir x\,d x na integral, isolamos x\,d x:
x\,d x = \frac{1}{2}\,d u.
Essa manipulação é só a aplicação da regra da diferenciação (derivada de x^{2} é 2x) e da álgebra para resolver para x\,d x.

Passo 3

Troca dos limites de integração: como a integral é definida e estamos substituindo u = x^{2}, precisamos transformar os limites.
Quando x = 0 temos u = 0^{2} = 0.
Quando x = 1 temos u = 1^{2} = 1.
Agora substituímos na integral original x e^{-x^{2}}\,d x usando u e d u:
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,d x = \int_{u=0}^{u=1} e^{-u}\left(\frac{1}{2}\,d u\right).
Fatorando a constante \tfrac{1}{2} para fora:
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,d x = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,d u.

Passo 4

Calcular a antiderivada de e^{-u}: precisamos conhecer uma primitiva (antiderivada) de e^{-u}. Lembre-se que a derivada de e^{-u} em relação a u é
\frac{d}{d u} e^{-u} = -e^{-u}.
Portanto uma primitiva de e^{-u} é -e^{-u}, pois derivando -e^{-u} obtemos e^{-u}. Em termos gerais, a primitiva de e^{a u} é \frac{1}{a}e^{a u} quando a\neq 0; aqui a=-1, então a primitiva é \frac{1}{-1}e^{-u}=-e^{-u}.

Passo 5

Aplicamos a primitiva ao integral em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,d u = \frac{1}{2}\Big[ -e^{-u} \Big]_{0}^{1}.
Agora avaliamos nos limites u=1 e u=0:
\Big[ -e^{-u} \Big]_{0}^{1} = \big( -e^{-1} \big) - \big( -e^{0} \big) = -e^{-1} + e^{0}.
Como e^{0}=1, isso fica -e^{-1} + 1.

Passo 6

Multiplicando pela constante \tfrac{1}{2} obtemos o resultado final:
\frac{1}{2}\big(1 - e^{-1}\big) = \frac{1 - e^{-1}}{2}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, e^{-1}\approx 0{,}367879, então a integral vale aproximadamente 0{,}316060, mas o valor exato é o que escrevemos acima.

Resposta

\dfrac{1-e^{-1}}{2}

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