Calcule as integrais a seguir
Passo 1
Enunciado: calcular a integral definida
.
Informações dadas: o integrando é , a variável de integração é
e os limites são
e
.
Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.
Informações dadas: o integrando é
Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que pensar em substituição): aqui temos um produto onde aparece
multiplicando uma função de
, isto é
. Quando enxergamos algo como "uma função de
" multiplicada por
, é natural tentar a substituição que simplifica a parte
. Vamos definir uma nova variável:
Agora explico o que significa
: diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isto quer dizer que, em termos de diferenciais,
Como queremos substituir
na integral, isolamos
:
Essa manipulação é só a aplicação da regra da diferenciação (derivada de
é
) e da álgebra para resolver para
.
Passo 3
Troca dos limites de integração: como a integral é definida e estamos substituindo
, precisamos transformar os limites.
Quando temos
.
Quando temos
.
Quando
Quando
Agora substituímos na integral original
usando
e
:
Fatorando a constante
para fora:
Passo 4
Calcular a antiderivada de
: precisamos conhecer uma primitiva (antiderivada) de
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
Portanto uma primitiva de
é
, pois derivando
obtemos
. Em termos gerais, a primitiva de
é
quando
; aqui
, então a primitiva é
.
Passo 5
Aplicamos a primitiva ao integral em
:
Agora avaliamos nos limites
e
:
Como
, isso fica
.
Passo 6
Multiplicando pela constante
obtemos o resultado final:
Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, então a integral vale aproximadamente
, mas o valor exato é o que escrevemos acima.