\int\left(2 x^{2}+3 x+1\right) /\left(x^{3}+x^{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}+3x+1}{x^{3}+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
Função integranda é a função racional \dfrac{2x^{2}+3x+1}{x^{3}+x^{2}}.
A integral é indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
Não há outras restrições explícitas; implicitamente x\neq 0 e x\neq -1 por causa do denominador.
Passo 2
Fatorar o denominador para entender a estrutura da fração. Observa-se que
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Portanto a integranda é uma fração da forma
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}(x+1)}.
Note que o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), ou seja, é uma fração própria — adequada para decomposição em frações parciais.
Passo 3
Explicação rápida do método que vamos usar (frações parciais):
Para integrar uma fração racional com denominador fatorado em potências de fatores lineares, é conveniente decompor a fração em somas de frações simples cujas primitivas são conhecidas.
Como o denominador tem o fator x^{2} (raiz x=0 de multiplicidade 2) e o fator (x+1) (raiz -1 de multiplicidade 1), a forma geral da decomposição é
que coincide com a decomposição da integranda em frações parciais, logo a primitiva está correta (lembrando as restrições x\neq 0 e x\neq -1 do domínio).