1. \int\left(2 x^{2}+3 x+1\right) /\left(x^{3}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}+3x+1}{x^{3}+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Função integranda é a função racional \dfrac{2x^{2}+3x+1}{x^{3}+x^{2}}.
  • A integral é indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
  • Não há outras restrições explícitas; implicitamente x\neq 0 e x\neq -1 por causa do denominador.

Passo 2

Fatorar o denominador para entender a estrutura da fração. Observa-se que
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Portanto a integranda é uma fração da forma
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}(x+1)}.
Note que o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), ou seja, é uma fração própria — adequada para decomposição em frações parciais.

Passo 3

Explicação rápida do método que vamos usar (frações parciais):
  • Para integrar uma fração racional com denominador fatorado em potências de fatores lineares, é conveniente decompor a fração em somas de frações simples cujas primitivas são conhecidas.
  • Como o denominador tem o fator x^{2} (raiz x=0 de multiplicidade 2) e o fator (x+1) (raiz -1 de multiplicidade 1), a forma geral da decomposição é
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Encontrar A\), \(B\) e \(C\). Multiplicando ambos os lados por \(x^{2}(x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[2x^{2}+3x+1 = A\,x(x+1) + B(x+1) + C\,x^{2}.
Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+x) + Bx + B + Cx^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Comparando coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) temos o sistema
\begin{cases} A + C = 2,\\[4pt] A + B = 3,\\[4pt] B = 1. \end{cases}
Da última equação vem \;B=1\]. Substituindo em \(\;A+B=3 obtemos \;A+1=3\Rightarrow A=2. Finalmente, de \;A+C=2 segue \;2+C=2\Rightarrow C=0.]

Passo 5

Substituindo os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{0}{x+1}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a integral original reduz-se a integrar duas parcelas simples:
\int \frac{2x^{2}+3x+1}{x^{3}+x^{2}}\,dx=\int\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)dx.

Passo 6

Integrar termo a termo usando fórmulas básicas:
  • Regra do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • Regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}, com n=-2, então
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.
Aplicando às parcelas:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|+C, \qquad \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}+C.
Somando (reunindo as constantes em uma única C) obtemos a primitiva geral
2\ln|x| - \frac{1}{x} + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando a resposta
\frac{d}{dx}\!\left(2\ln|x|-\frac{1}{x}\right)=2\cdot\frac{1}{x} - \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}},
que coincide com a decomposição da integranda em frações parciais, logo a primitiva está correta (lembrando as restrições x\neq 0 e x\neq -1 do domínio).

Resposta

2\ln|x|-\dfrac{1}{x}+C

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