O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{4}+1}.
Informações relevantes: o integrando tem um polinômio de quarto grau no denominador que não fatoriza em fatores lineares reais, mas fatoriza em dois quadráticos reais. A estratégia será fatorar o denominador sobre os reais e usar decomposição em frações parciais com quadráticos no denominador, transformando cada parcela numa combinação de logaritmo (derivada do denominador) e arctangente (completar quadrado). Vou seguir esses passos sem pular contas.
Passo 2
Fatoração do denominador: reconhecemos a identidade
com constantes A,B,C,D\). Multiplicando ambos os lados por \(x^{4}+1\) obtemos a identidade polinomial
\[1=(A x+B)(x^{2}-\sqrt{2}\,x+1)+(C x+D)(x^{2}+\sqrt{2}\,x+1).
Vou igualar coeficientes de potências de x. Expandindo e somando, os coeficientes dão o sistema linear
Da primeira equação C=-A\]. Substituindo em \(x^{2} obtemos
-2\sqrt{2}A+B+D=0.
Mas B+D=1, então 1=2\sqrt{2}A, logo
A=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Assim C=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}. Da equação do termo x^{1}, observando que A+C=0, obtemos -\sqrt{2}B+\sqrt{2}D=0\Rightarrow D=B. Com B+D=1 vem B=D=\dfrac{1}{2}.
Para integrar termos do tipo \dfrac{\alpha x+\beta}{x^{2}+b x+c} é útil separar a parte proporcional à derivada do denominador e a parte restante: escrevemos
pois \dfrac{d}{dx}(x^{2}+b x+c)=2x+b. A integral da parte \tilde{\alpha}(2x+b)/(x^{2}+b x+c) é \tilde{\alpha}\ln(x^{2}+b x+c), e a integral da parte \tilde{\beta}/(x^{2}+b x+c) é um arctan após completar o quadrado.
Vou aplicar isso ao primeiro quociente com b=\sqrt{2}, numerador A x+B com A=\dfrac{\sqrt{2}}{4}, B=\dfrac{1}{2}. Temos
A x+B=\alpha_{1}(2x+\sqrt{2})+\beta_{1},
onde \alpha_{1}=A/2=\dfrac{\sqrt{2}}{8} e \beta_{1}=B-\alpha_{1}\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.
Logo
Também a soma de arctangentes simplifica: usando a fórmula \arctan u+\arctan v=\arctan\!\bigl(\dfrac{u+v}{1-uv}\bigr) (até soma de múltiplos de \pi, que é irrelevante para a primitiva), com u=\sqrt{2}x+1 e v=\sqrt{2}x-1 obtemos
Substituindo e simplificando coeficientes (\dfrac{\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}} e \dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}), uma forma compacta da primitiva é