1. \int d x /\left(x^{4}+1\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{4}+1}.
Informações relevantes: o integrando tem um polinômio de quarto grau no denominador que não fatoriza em fatores lineares reais, mas fatoriza em dois quadráticos reais. A estratégia será fatorar o denominador sobre os reais e usar decomposição em frações parciais com quadráticos no denominador, transformando cada parcela numa combinação de logaritmo (derivada do denominador) e arctangente (completar quadrado). Vou seguir esses passos sem pular contas.

Passo 2

Fatoração do denominador: reconhecemos a identidade
x^{4}+1=(x^{2}+\sqrt{2}\,x+1)(x^{2}-\sqrt{2}\,x+1).
Aqui tomei \sqrt{2} para abreviar; verifique multiplicando os fatores:
(x^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}\,x)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1-2x^{2}=x^{4}+1.

Passo 3

Decomposição em frações parciais: assumimos
\frac{1}{x^{4}+1}=\frac{A x+B}{x^{2}+\sqrt{2}\,x+1}+\frac{C x+D}{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1},
com constantes A,B,C,D\). Multiplicando ambos os lados por \(x^{4}+1\) obtemos a identidade polinomial \[1=(A x+B)(x^{2}-\sqrt{2}\,x+1)+(C x+D)(x^{2}+\sqrt{2}\,x+1).
Vou igualar coeficientes de potências de x. Expandindo e somando, os coeficientes dão o sistema linear
\begin{cases} x^{3}: & A+C=0,\\[4pt] x^{2}: & -\sqrt{2}A+B+\sqrt{2}C+D=0,\\[4pt] x^{1}: & A-\sqrt{2}B+C+\sqrt{2}D=0,\\[4pt] x^{0}: & B+D=1. \end{cases}
Da primeira equação C=-A\]. Substituindo em \(x^{2} obtemos
-2\sqrt{2}A+B+D=0.
Mas B+D=1, então 1=2\sqrt{2}A, logo
A=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Assim C=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}. Da equação do termo x^{1}, observando que A+C=0, obtemos -\sqrt{2}B+\sqrt{2}D=0\Rightarrow D=B. Com B+D=1 vem B=D=\dfrac{1}{2}.
Portanto os coeficientes são
A=\frac{\sqrt{2}}{4},\quad B=\frac{1}{2},\quad C=-\frac{\sqrt{2}}{4},\quad D=\frac{1}{2}.]

Passo 4

Reescrevendo a integral com a decomposição:
\int \frac{dx}{x^{4}+1} =\int\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+\sqrt{2}\,x+1}\,dx +\int\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^{2}-\sqrt{2}\,x+1}\,dx.
Para integrar termos do tipo \dfrac{\alpha x+\beta}{x^{2}+b x+c} é útil separar a parte proporcional à derivada do denominador e a parte restante: escrevemos
\alpha x+\beta=\tilde{\alpha}\,(2x+b)+\tilde{\beta},
pois \dfrac{d}{dx}(x^{2}+b x+c)=2x+b. A integral da parte \tilde{\alpha}(2x+b)/(x^{2}+b x+c) é \tilde{\alpha}\ln(x^{2}+b x+c), e a integral da parte \tilde{\beta}/(x^{2}+b x+c) é um arctan após completar o quadrado.
Vou aplicar isso ao primeiro quociente com b=\sqrt{2}, numerador A x+B com A=\dfrac{\sqrt{2}}{4}, B=\dfrac{1}{2}. Temos
A x+B=\alpha_{1}(2x+\sqrt{2})+\beta_{1},
onde \alpha_{1}=A/2=\dfrac{\sqrt{2}}{8} e \beta_{1}=B-\alpha_{1}\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.
Logo
\int\frac{A x+B}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}\,dx =\alpha_{1}\ln\bigl(x^{2}+\sqrt{2}x+1\bigr)+\beta_{1}\int\frac{dx}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}.
Para o segundo quociente com b=-\sqrt{2}, numerador C x+D com C=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}, D=\dfrac{1}{2}, de forma análoga obtemos
\alpha_{2}=C/2=-\dfrac{\sqrt{2}}{8},\qquad \beta_{2}=D-\alpha_{2}(-\sqrt{2})=\dfrac{1}{4},
e
\int\frac{C x+D}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\,dx =\alpha_{2}\ln\bigl(x^{2}-\sqrt{2}x+1\bigr)+\beta_{2}\int\frac{dx}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}.

Passo 5

Calcular as integrais das formas \int dx/(x^{2}\pm\sqrt{2}x+1) completando o quadrado. Para x^{2}+\sqrt{2}x+1:
x^{2}+\sqrt{2}x+1=\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}.
Se u=x+\frac{\sqrt{2}}{2} então \,du=dx e
\int\frac{dx}{x^{2}+\sqrt{2}x+1} =\int\frac{du}{u^{2}+\tfrac{1}{2}} =\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,u\bigr) =\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x+1\bigr),
pois \sqrt{2}\,u=\sqrt{2}x+1.
Para x^{2}-\sqrt{2}x+1:
x^{2}-\sqrt{2}x+1=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2},
logo
\int\frac{dx}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}=\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x-1\bigr).

Passo 6

Juntando tudo: dos coeficientes \alpha_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}, \alpha_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}, \beta_{1}=\beta_{2}=\dfrac{1}{4}, temos
\int\frac{dx}{x^{4}+1} =\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\bigl(x^{2}+\sqrt{2}x+1\bigr)-\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\bigl(x^{2}-\sqrt{2}x+1\bigr) +\frac{\sqrt{2}}{4}\Bigl[\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x+1\bigr)+\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x-1\bigr)\Bigr]+C.
As duas parcelas logarítmicas podem ser reunidas num só logaritmo:
\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\!\left(\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\right).
Também a soma de arctangentes simplifica: usando a fórmula \arctan u+\arctan v=\arctan\!\bigl(\dfrac{u+v}{1-uv}\bigr) (até soma de múltiplos de \pi, que é irrelevante para a primitiva), com u=\sqrt{2}x+1 e v=\sqrt{2}x-1 obtemos
\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x+1\bigr)+\arctan\!\bigl(\sqrt{2}x-1\bigr) =\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2}x}{1-x^{2}}\right).
Substituindo e simplificando coeficientes ( \dfrac{\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}} e \dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}), uma forma compacta da primitiva é
\int\frac{dx}{x^{4}+1} =\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\!\left(\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\right) +\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2}x}{1-x^{2}}\right)+C.

Resposta

\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\!\left(\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\right) +\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2}x}{1-x^{2}}\right)+C

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