Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. O que temos:
- Integral a calcular:
. - Queremos encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos pensar em estratégias sem resolver ainda. Duas ideias comuns:
- Tentar uma substituição direta
. Então , mas o integrando tem apenas , ou seja não aparece : essa substituição não encaixa direto. - Observar que aparece um fator
multiplicando uma expressão em . Uma substituição útil é , porque e faz com que vire . Essa escolha transforma a integral em um polinômio em , que dá para expandir e integrar termo a termo sem dificuldade. Vou seguir essa segunda ideia.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então:
Substituindo na integral:
Colocando o fator constante fora:
Passo 4
Agora vamos expandir o binômio
. Lembra da fórmula do cubo de um binômio:
Aplicando com
e
:
Calculemos termo a termo:
Portanto
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Integrar termo a termo em
. Uso a regra da potência:
e a linearidade da integral.
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Voltar à variável
usando
. Substituindo
,
,
e
: