\int\left(8 x^{4}-5\right)^{3} \cdot 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. O que temos:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int\left(8 x^{4}-5\right)^{3} \cdot 3 x\, d x.
  • Queremos encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos pensar em estratégias sem resolver ainda. Duas ideias comuns:
  • Tentar uma substituição direta \,u=8x^{4}-5. Então \,du=32x^{3}dx, mas o integrando tem apenas 3x\,dx, ou seja não aparece x^{3}: essa substituição não encaixa direto.
  • Observar que aparece um fator x multiplicando uma expressão em x^{4}. Uma substituição útil é \,v=x^{2}, porque x^{4}=(x^{2})^{2}=v^{2} e \,dv=2x\,dx faz com que x\,dx vire \,dv/2. Essa escolha transforma a integral em um polinômio em v, que dá para expandir e integrar termo a termo sem dificuldade. Vou seguir essa segunda ideia.

Passo 3

Fazer a substituição \,v=x^{2}. Então:
dv=2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{dv}{2}.
Substituindo na integral:
\int\left(8 x^{4}-5\right)^{3}\cdot 3x\,dx =3\int\left(8 (x^{2})^{2}-5\right)^{3} x\,dx =3\int\left(8 v^{2}-5\right)^{3}\cdot\frac{dv}{2}.
Colocando o fator constante fora:
= \frac{3}{2}\int\left(8 v^{2}-5\right)^{3} dv.

Passo 4

Agora vamos expandir o binômio \left(8 v^{2}-5\right)^{3}. Lembra da fórmula do cubo de um binômio:
(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.
Aplicando com a=8v^{2} e b=5:
(8v^{2}-5)^{3} = (8v^{2})^{3} - 3(8v^{2})^{2}\cdot 5 + 3(8v^{2})\cdot 5^{2} - 5^{3}.
Calculemos termo a termo:
(8v^{2})^{3}=512\,v^{6},
3(8v^{2})^{2}\cdot 5 = 3\cdot 64\,v^{4}\cdot 5 = 960\,v^{4},
3(8v^{2})\cdot 5^{2} = 3\cdot 8\,v^{2}\cdot 25 = 600\,v^{2},
5^{3}=125.
Portanto
(8v^{2}-5)^{3}=512\,v^{6}-960\,v^{4}+600\,v^{2}-125.
Multiplicando pelo fator \frac{3}{2} que estava fora:
\frac{3}{2}\,(8v^{2}-5)^{3} = \frac{3}{2}\big(512\,v^{6}-960\,v^{4}+600\,v^{2}-125\big) =768\,v^{6}-1440\,v^{4}+900\,v^{2}-\frac{375}{2}.

Passo 5

Integrar termo a termo em v. Uso a regra da potência: \displaystyle \int v^{n}dv=\frac{v^{n+1}}{n+1} e a linearidade da integral.
\int\left(768\,v^{6}-1440\,v^{4}+900\,v^{2}-\frac{375}{2}\right)dv =768\cdot\frac{v^{7}}{7}-1440\cdot\frac{v^{5}}{5}+900\cdot\frac{v^{3}}{3}-\frac{375}{2}\,v + C.
Simplificando os coeficientes:
= \frac{768}{7}\,v^{7}-288\,v^{5}+300\,v^{3}-\frac{375}{2}\,v + C.

Passo 6

Voltar à variável x usando v=x^{2}. Substituindo v^{7}=(x^{2})^{7}=x^{14}, v^{5}=x^{10}, v^{3}=x^{6} e v=x^{2}:
\frac{768}{7}\,x^{14}-288\,x^{10}+300\,x^{6}-\frac{375}{2}\,x^{2}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{768}{7}\,x^{14}-288\,x^{10}+300\,x^{6}-\frac{375}{2}\,x^{2}+C

Exercícios relacionados