Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação. a_{n}=\frac{1}{2^{n}};
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_n=\frac{1}{2^{n}}
e pede que se determine se essa sequência é convergente ou divergente, com demonstração. Em outras palavras: existe um número \ell tal que \lim_{n\to\infty}a_n=\ell? Se sim, qual é \ell?
Passo 2
Vou lembrar a definição precisa de convergência de sequência (essa é a ferramenta que vamos usar para provar direitinho): dizemos que a sequência (a_n) converge para \ell se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|a_n-\ell|<\varepsilon.
Aqui cada símbolo significa:
\varepsilon é qualquer número positivo pequeno que escolhermos (a precisão desejada);
N é um índice (dependente de \varepsilon) a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro da margem \varepsilon de \ell.
Nosso objetivo será mostrar que existe \ell (no caso será 0) que satisfaz essa definição.
Passo 3
Observações intuitivas e propriedades úteis da sequência \left(\dfrac{1}{2^n}\right):
Todos os termos são não negativos: a_n>0 para todo n.
A sequência é estritamente decrescente: como 2^{n+1}=2\cdot2^n>2^n, então \dfrac{1}{2^{n+1}}<\dfrac{1}{2^n}.
Como é decrescente e limitada inferiormente por 0, isso já sugere que ela tem limite — e o candidato natural é 0, porque os termos vão ficando cada vez menores, tendendo a zero.
Mas vamos provar formalmente pelo método \varepsilon-N.
Passo 4
Prova \varepsilon-N de que \lim_{n\to\infty}a_n=0.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
A desigualdade \dfrac{1}{2^n}<\varepsilon é equivalente a
2^n>\frac{1}{\varepsilon}.
A função n\mapsto 2^n é crescente e tende ao infinito quando n\to\infty, portanto existe um inteiro N tal que 2^N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Uma maneira explícita de escolher N é tomar
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com essa escolha temos 2^N\ge 2^{\log_2(1/\varepsilon)}=\dfrac{1}{\varepsilon}, e de fato, porque usamos teto, garante-se 2^N>\dfrac{1}{\varepsilon} ou pelo menos 2^N\ge \dfrac{1}{\varepsilon}, o que basta para obter para todo n\ge N
Assim, para esse N e todo n\ge N vale |a_n-0|<\varepsilon. Pela definição, \lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 5
Comentário alternativo (intuitivo e útil na prova rápida): a sequência é uma progressão geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e termo inicial 1. Para qualquer número real r com |r|<1 vale \lim_{n\to\infty} r^n=0. Aqui a_n=(\tfrac{1}{2})^n e |\tfrac{1}{2}|<1, portanto a sequência tende a 0. Essa observação é uma forma curta de ver o mesmo resultado, baseada na propriedade conhecida das potências.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para intuição: a_1=\tfrac{1}{2}=0,5, a_2=\tfrac{1}{4}=0,25, a_3=\tfrac{1}{8}=0,125, a_4=0,0625, … os números ficam cada vez menores e aproximam-se de zero.