Mostre o Teorema do Confronto (ou do Sanduíche) para sequências:
Teorema. Sejam
e
três sequências de números reais tais que
para todo
suficientemente grande. Se
então
Passo 1
O enunciado dá três sequências de números reais
e afirma que, para todo
suficientemente grande,
Além disso afirma que
O que precisamos provar é que
Passo 2
Antes de começar a prova formal, vamos lembrar a definição precisa de limite de sequência (essa é a ferramenta que vamos usar).
Definição (epsilon–
): Dizemos que
se, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Aqui
é qualquer margem de erro desejada (pequena), e
é um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro de
da reta
. Vou usar essa definição para
e para
.
Passo 3
Usando que
: para um
dado, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Usando que
: para o mesmo
existe um inteiro
tal que, para todo
,
Expliquei: isso significa que a partir de
os
ficam dentro de
de
, e a partir de
os
ficam dentro de
de
.
Passo 4
Agora use a desigualdade entre as sequências. Para
suficientemente grande (em particular para
) temos
Subtraindo
de todos os termos obtemos
Isto diz que o número
está “no meio” entre
e
. A partir dessa informação vamos estimar o valor absoluto
.
Fato elementar (útil aqui): se
são números reais, então
Uma forma rápida de ver isso é considerar dois casos: se
então
e logo
; se
então
e
(porque
), portanto
. Aplicando esse fato com
,
,
segue que
Passo 5
Escolha
. Para todo
temos simultaneamente
e
. Portanto
Usando a desigualdade do passo anterior,
para todo
.
Passo 6
A condição acima é exatamente a definição de
: para todo
encontramos um
(aqui
) tal que, quando
, vale
. Assim provamos que
.
Intuição rápida e exemplo: pense em
,
e qualquer
que esteja entre esses dois (por exemplo
ou
). Como as “margens” à esquerda e à direita encolhem para zero, o termo do meio também é forçado a encolher para
.