Mostre o Teorema do Confronto (ou do Sanduíche) para sequências:
Teorema. Sejam a_{n}, b_{n} e c_{n} três sequências de números reais tais que
a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}
para todo n suficientemente grande. Se
\lim a_{n}=\lim c_{n}=L,
então
\lim b_{n}=L

Passo 1

O enunciado dá três sequências de números reais a_{n}, b_{n}, c_{n} e afirma que, para todo n suficientemente grande,
a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}.
Além disso afirma que
\lim a_{n}=L\quad\text{e}\quad\lim c_{n}=L.
O que precisamos provar é que
\lim b_{n}=L.

Passo 2

Antes de começar a prova formal, vamos lembrar a definição precisa de limite de sequência (essa é a ferramenta que vamos usar).
Definição (epsilon– N): Dizemos que \lim x_{n}=L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é qualquer margem de erro desejada (pequena), e N é um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro de \varepsilon da reta L. Vou usar essa definição para a_{n} e para c_{n}.

Passo 3

Usando que \lim a_{n}=L: para um \varepsilon>0 dado, existe um inteiro N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|a_{n}-L|<\varepsilon.
Usando que \lim c_{n}=L: para o mesmo \varepsilon>0 existe um inteiro N_{2} tal que, para todo n\ge N_{2},
|c_{n}-L|<\varepsilon.
Expliquei: isso significa que a partir de N_{1} os a_{n} ficam dentro de \varepsilon de L, e a partir de N_{2} os c_{n} ficam dentro de \varepsilon de L.

Passo 4

Agora use a desigualdade entre as sequências. Para n suficientemente grande (em particular para n\ge\max(N_1,N_2)) temos
a_{n}\le b_{n}\le c_{n}.
Subtraindo L de todos os termos obtemos
a_{n}-L \le b_{n}-L \le c_{n}-L.
Isto diz que o número b_{n}-L está “no meio” entre a_{n}-L e c_{n}-L. A partir dessa informação vamos estimar o valor absoluto |b_{n}-L|.
Fato elementar (útil aqui): se x\le y\le z são números reais, então
|y|\le\max\{|x|,|z|\}.
Uma forma rápida de ver isso é considerar dois casos: se y\ge0 então y\le z e logo |y|=y\le|z|\le\max\{|x|,|z|\}; se y\le0 então -y\ge0 e -y\le -x (porque x\le y), portanto |y|=-y\le|x|\le\max\{|x|,|z|\}. Aplicando esse fato com x=a_{n}-L, y=b_{n}-L, z=c_{n}-L segue que
|b_{n}-L|\le\max\{|a_{n}-L|,|c_{n}-L|\}.

Passo 5

Escolha N=\max\{N_{1},N_{2}\}. Para todo n\ge N temos simultaneamente |a_{n}-L|<\varepsilon e |c_{n}-L|<\varepsilon. Portanto
\max\{|a_{n}-L|,|c_{n}-L|\}<\varepsilon.
Usando a desigualdade do passo anterior,
|b_{n}-L|\le\max\{|a_{n}-L|,|c_{n}-L|\}<\varepsilon
para todo n\ge N.

Passo 6

A condição acima é exatamente a definição de \lim b_{n}=L: para todo \varepsilon>0 encontramos um N (aqui N=\max\{N_{1},N_{2}\}) tal que, quando n\ge N, vale |b_{n}-L|<\varepsilon. Assim provamos que \lim b_{n}=L.
Intuição rápida e exemplo: pense em a_{n}=L-\tfrac{1}{n}, c_{n}=L+\tfrac{1}{n} e qualquer b_{n} que esteja entre esses dois (por exemplo b_{n}=L ou b_{n}=L+\tfrac{1}{2n}). Como as “margens” à esquerda e à direita encolhem para zero, o termo do meio também é forçado a encolher para L.

Resposta

\displaystyle \lim b_{n}=L

Exercícios relacionados