1. \int\left(e^{5 x}+a^{5 x}\right) d x, \quad a>0 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad\frac{e^{5 x}}{5}+\frac{a^{5 x}}{5 \ln a}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int\bigl(e^{5x} + a^{5x}\bigr)\,dx,
que é soma de duas funções. Pela linearidade da integral, basta calcular separadamente
\int e^{5x}\,dx \quad\text{e}\quad \int a^{5x}\,dx.

Passo 2

Para \displaystyle \int e^{5x}\,dx, use u=5x, de modo que du=5\,dx e dx = du/5. Assim,
\int e^{5x}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{e^{u}}{5} = \frac{e^{5x}}{5}.

Passo 3

Para \displaystyle \int a^{5x}\,dx, lembre que a^{5x}=e^{5x\ln a}. Fazendo v=5x\ln a, então dv=5\ln(a)\,dx e dx=dv/(5\ln a). Temos
\int a^{5x}\,dx = \int e^{5x\ln a}\,dx = \int e^{v}\,\frac{dv}{5\ln a} = \frac{1}{5\ln a}\int e^{v}\,dv = \frac{e^{v}}{5\ln a} = \frac{a^{5x}}{5\ln a}.

Resposta

\int\bigl(e^{5x} + a^{5x}\bigr)\,dx = \frac{e^{5x}}{5} \;+\;\frac{a^{5x}}{5\ln a} \;+\;C.

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