1. \int \ln \left(x^{2}+1\right) d x \qquad (resp. \quad x \ln \left(1+x^{2}\right)-2 x+2 \operatorname{arctg} x+C )

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad dv = dx.
Então calculamos
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, \quad v = \int dv = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Para resolver \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx, fazemos a divisão:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1 - 1}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
Logo
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = x - \operatorname{arctg}x.
Substituindo de volta na integral principal:
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\bigl(x - \operatorname{arctg}x\bigr) + C = x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\,\operatorname{arctg}x + C.

Resposta

\displaystyle x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - 2x + 2\,\operatorname{arctg}x + C

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