1. \int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\!\bigl(x^{2}-5x\bigr)\,e^{x}\,dx
O conteúdo aqui é produto de polinômio por exponencial, então vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}-5x, \quad dv = e^{x}\,dx
Então
du = (2x-5)\,dx, \quad v = e^{x}.
Pela fórmula de partes,
\int\!(x^{2}-5x)\,e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)\,e^{x} - \int\!(2x-5)\,e^{x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
I = \int\!(2x-5)\,e^{x}\,dx
fazemos outra integração por partes com
u_{1} = 2x-5, \quad dv_{1} = e^{x}\,dx
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du_{1} = 2\,dx, \quad v_{1} = e^{x}.
Temos
I = (2x-5)\,e^{x} - \int 2\,e^{x}\,dx = (2x-5)\,e^{x} - 2\,e^{x} + C_{1}.

Passo 4

Substituindo I na expressão original:
\int\!(x^{2}-5x)\,e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)\,e^{x} - \bigl[(2x-5)\,e^{x} - 2\,e^{x}\bigr] + C.
Agrupando termos e fatorando e^{x}, obtemos
e^{x}\bigl(x^{2}-5x -2x +5 +2\bigr) + C = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C.

Resposta

\int\!(x^{2}-5x)\,e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C.

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