, onde
éo segmento de reto que luga os portos
e
, nesta ordem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral complexa ao longo do segmento de reta
que vai de
até
, na ordem dada, do integrando
Informações dadas:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
(ou seja ). - Curva
é o segmento de reta ligando a .
A tarefa é calcular
Passo 2
Escolha do método: existem dois jeitos naturais aqui.
- Parametrizar o segmento de reta e calcular a integral diretamente usando substituição
. Esse método é elementar e sempre funciona. - Usar que
é um polinômio (logo função inteira) e possui uma primitiva ; então a integral ao longo de qualquer curva de a vale (teorema fundamental da integração complexa, análogo ao caso real).
Vou optar pelo método da primitiva porque é mais direto e menos sujeito a erros aritméticos longos, mas também explico rapidamente a parametrização como verificação mental. Escolhi a primitiva porque o integrando é um polinômio simples e a primitiva se obtém termo a termo de forma elementar.
Passo 3
Encontrar a primitiva
de
integrando termo a termo. Lembretes:
- Integrar em relação a
significa o mesmo que em cálculo real integrar cada monômio como se fosse variável formal. -
. -
. -
.
Portanto uma primitiva é
pois
.
Passo 4
Pelo teorema fundamental, a integral vale
Agora calculamos
com
.
Calcular potências de
:
Substituir em
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 5
Calcular
com
.
Potências de
:
Substituir em
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Organizando:
logo
Passo 6
Agora subtrairemos:
Calcule componente a componente:
Portanto o valor da integral é
.
(O método da parametrização do segmento daria o mesmo resultado; a primitiva torna a conta mais direta.)