\int\left(z^{2}-2 z+i-3\right) d z, onde C éo segmento de reto que luga os portos z_{0}=1-2 i e z_{1}=i-1, nesta ordem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa ao longo do segmento de reta C que vai de z_{0}=1-2i até z_{1}=i-1, na ordem dada, do integrando
f(z)=z^{2}-2z+i-3.
Informações dadas:
  • Ponto inicial: z_{0}=1-2i.
  • Ponto final: z_{1}=i-1 (ou seja -1+i).
  • Curva C é o segmento de reta ligando z_{0} a z_{1}.
    A tarefa é calcular
\int_{C}\bigl(z^{2}-2z+i-3\bigr)\,dz.

Passo 2

Escolha do método: existem dois jeitos naturais aqui.
  1. Parametrizar o segmento de reta e calcular a integral diretamente usando substituição z=z(t). Esse método é elementar e sempre funciona.
  2. Usar que f(z) é um polinômio (logo função inteira) e possui uma primitiva F(z); então a integral ao longo de qualquer curva de z_{0} a z_{1} vale F(z_{1})-F(z_{0}) (teorema fundamental da integração complexa, análogo ao caso real).
Vou optar pelo método da primitiva porque é mais direto e menos sujeito a erros aritméticos longos, mas também explico rapidamente a parametrização como verificação mental. Escolhi a primitiva porque o integrando é um polinômio simples e a primitiva se obtém termo a termo de forma elementar.

Passo 3

Encontrar a primitiva F(z) de f(z) integrando termo a termo. Lembretes:
  • Integrar em relação a z significa o mesmo que em cálculo real integrar cada monômio como se fosse variável formal.
  • \dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{z^{3}}{3}\right)=z^{2}.
  • \dfrac{d}{dz}\!\left(-z^{2}\right)=-2z.
  • \dfrac{d}{dz}\!\bigl((i-3)z\bigr)=i-3.
Portanto uma primitiva é
F(z)=\frac{z^{3}}{3}-z^{2}+(i-3)z,
pois F'(z)=z^{2}-2z+i-3=f(z).

Passo 4

Pelo teorema fundamental, a integral vale
\int_{C} f(z)\,dz = F(z_{1})-F(z_{0}).
Agora calculamos F(z_{1}) com z_{1}=-1+i.
Calcular potências de z_{1}:
z_{1}^{2}=(-1+i)^{2}=-2i,
z_{1}^{3}=z_{1}^{2}z_{1}=(-2i)(-1+i)=2+2i.
Substituir em F:
F(z_{1})=\frac{1}{3}(2+2i)-(-2i)+(i-3)(-1+i).
Calcule passo a passo:
\frac{1}{3}(2+2i)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i, \qquad -(-2i)=2i,
(i-3)(-1+i)=2-4i \quad\text{(feito multiplicando diretamente).}
Somando:
F(z_{1})=\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}i+2i-4i\right)+2 =\frac{2}{3}+2+\left(\frac{2}{3}+2-4\right)i =\frac{8}{3}-\frac{4}{3}i.

Passo 5

Calcular F(z_{0}) com z_{0}=1-2i.
Potências de z_{0}:
z_{0}^{2}=(1-2i)^{2}=-3-4i,
z_{0}^{3}=z_{0}^{2}z_{0}=(-3-4i)(1-2i)=-11+2i.
Substituir em F:
F(z_{0})=\frac{1}{3}(-11+2i)-(-3-4i)+(i-3)(1-2i).
Calcule passo a passo:
\frac{1}{3}(-11+2i)=-\frac{11}{3}+\frac{2}{3}i, \qquad -(-3-4i)=3+4i,
(i-3)(1-2i)=-1+7i \quad\text{(multiplicação direta).}çã
Somando:
F(z_{0})=-\frac{11}{3}+3+\left(\frac{2}{3}i+4i+7i\right)-1 = -\frac{11}{3}+3-1+\left(\frac{2}{3}+4+7\right)i.
Organizando:
-\frac{11}{3}+2=-\frac{5}{3}, \qquad \frac{2}{3}+4+7=\frac{2}{3}+11=\frac{35}{3},
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F(z_{0})=-\frac{5}{3}+\frac{35}{3}i.

Passo 6

Agora subtrairemos:
F(z_{1})-F(z_{0})=\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{3}i\right)-\left(-\frac{5}{3}+\frac{35}{3}i\right).
Calcule componente a componente:
\text{parte real: }\frac{8}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{8}{3}+\frac{5}{3}=\frac{13}{3},
\text{parte imaginária: }-\frac{4}{3}-\frac{35}{3}=-\frac{39}{3}=-13.á
Portanto o valor da integral é \dfrac{13}{3}-13i.
(O método da parametrização do segmento daria o mesmo resultado; a primitiva torna a conta mais direta.)

Resposta

\dfrac{13}{3}-13i

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