\int_{|z|=1} \frac{z^{4}+z^{2}+i}{(4 z-i)^{3}} d z

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{|z|=1} \frac{z^{4}+z^{2}+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva de integração é o círculo unitário |z|=1, orientado positivamente.
  • O integrando é a função f(z)=\dfrac{z^{4}+z^{2}+i}{(4 z-i)^{3}}.
  • O denominador anula-se quando 4z-i=0, isto é em z_{0}=\dfrac{i}{4}.
  • O ponto z_{0}=\dfrac{i}{4} pertence ao interior do círculo |z|=1 porque \left| \dfrac{i}{4}\right|=\dfrac{1}{4}<1.
  • Em z_{0} a singularidade é de ordem 3 (polo de multiplicidade 3), pois o fator aparece ao cubo no denominador.
O que se pede: calcular numericamente a integral indicada.

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vamos usar (explicação didática do conceito necessário).
  • Para integrais de funções meromorfas em contornos fechados simples, uma ferramenta poderosa é o teorema dos resíduos: a integral ao longo do contorno é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos internos ao contorno.
  • O que é um resíduo? Para uma singularidade isolada em z_{0}, o resíduo é o coeficiente do termo \dfrac{1}{z-z_{0}} na expansão de Laurent de f em torno de z_{0}.
  • Para um polo de ordem m num ponto z_{0}, há uma fórmula prática para o resíduo:
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_{0})^{m}f(z)\Big].
  • No nosso caso o polo tem ordem m=3, então
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{2!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\Big[(z-z_{0})^{3}f(z)\Big].
Vou aplicar exatamente essa fórmula de forma explícita e com contas passo a passo.

Passo 3

Preparar a função no formato da fórmula do resíduo.
  • Escreve-se 4z-i=4\big(z-\tfrac{i}{4}\big). Então
(4z-i)^{3}=4^{3}\big(z-\tfrac{i}{4}\big)^{3}=64\big(z-\tfrac{i}{4}\big)^{3}.
  • Logo o integrando pode ser reescrito como
f(z)=\frac{z^{4}+z^{2}+i}{(4z-i)^{3}}=\frac{1}{64}\,\frac{z^{4}+z^{2}+i}{\big(z-\tfrac{i}{4}\big)^{3}}.
  • Definimos a função analítica
G(z):=\frac{z^{4}+z^{2}+i}{64},
de modo que f(z)=\dfrac{G(z)}{\big(z-\tfrac{i}{4}\big)^{3}}. Aqui G(z) é holomorfa perto de z_{0}=\tfrac{i}{4}.

Passo 4

Calcular o resíduo usando a fórmula para polo de ordem 3.
  • Pela fórmula,
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{2!}\,G''(z_{0})=\frac{1}{2}\,G''\!\left(\tfrac{i}{4}\right).
  • Calculamos G''(z). Primeiro G(z)=\dfrac{1}{64}(z^{4}+z^{2}+i). Então
G'(z)=\frac{1}{64}\big(4z^{3}+2z\big),
G''(z)=\frac{1}{64}\big(12z^{2}+2\big).
  • Avaliando em z_{0}=\dfrac{i}{4}: calcule z_{0}^{2}:
\left(\dfrac{i}{4}\right)^{2}=\dfrac{i^{2}}{16}=\dfrac{-1}{16}.
  • Substituindo em G'':
G''\!\left(\tfrac{i}{4}\right)=\frac{1}{64}\Big(12\cdot\big(-\tfrac{1}{16}\big)+2\Big) =\frac{1}{64}\Big(-\tfrac{12}{16}+2\Big).
  • Simplificando os parênteses:
-\tfrac{12}{16}+2=-\tfrac{3}{4}+2=\tfrac{5}{4}.
  • Portanto
G''\!\left(\tfrac{i}{4}\right)=\frac{1}{64}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{256}.
  • O resíduo é então
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{256}=\frac{5}{512}.

Passo 5

Aplicar o teorema dos resíduos para finalizar a integral.
  • Só há um polo interno ( z_{0}=\tfrac{i}{4}), portanto a integral vale
\int_{|z|=1}\frac{z^{4}+z^{2}+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz=2\pi i\sum_{\text{pólos internos}}\operatorname{Res}=\;2\pi i\cdot\frac{5}{512}.ó
  • Simplificando:
2\pi i\cdot\frac{5}{512}=\frac{10\pi i}{512}=\frac{5\pi i}{256}.

Resposta

\dfrac{5\pi i}{256}

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