A curva de integração é o círculo unitário |z|=1, orientado positivamente.
O integrando é a função f(z)=\dfrac{z^{4}+z^{2}+i}{(4 z-i)^{3}}.
O denominador anula-se quando 4z-i=0, isto é em z_{0}=\dfrac{i}{4}.
O ponto z_{0}=\dfrac{i}{4} pertence ao interior do círculo |z|=1 porque \left| \dfrac{i}{4}\right|=\dfrac{1}{4}<1.
Em z_{0} a singularidade é de ordem 3 (polo de multiplicidade 3), pois o fator aparece ao cubo no denominador.
O que se pede: calcular numericamente a integral indicada.
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vamos usar (explicação didática do conceito necessário).
Para integrais de funções meromorfas em contornos fechados simples, uma ferramenta poderosa é o teorema dos resíduos: a integral ao longo do contorno é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos internos ao contorno.
O que é um resíduo? Para uma singularidade isolada em z_{0}, o resíduo é o coeficiente do termo \dfrac{1}{z-z_{0}} na expansão de Laurent de f em torno de z_{0}.
Para um polo de ordem m num ponto z_{0}, há uma fórmula prática para o resíduo: