Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
Informações dadas e observações úteis (retiradas diretamente do enunciado):
- A curva de integração é o círculo
, ou seja, centro e raio . - A função a integrar é
. - Há um potencial ponto singular quando o denominador se anula, isto é em
. - O que se pede: o valor da integral complexa ao longo do círculo
(assumindo orientação positiva, isto é, sentido anti-horário).
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (ferramenta principal):
- Para integrais de funções meromorfas em curvas fechadas simples e orientadas positivamente, usamos o Teorema dos Resíduos. Em forma simples:
onde a soma é sobre os polos
de
que estão estritamente no interior de
.
- Se
com analítica em , então é um polo simples e
- Alternativamente, para um polo simples,
Estas fórmulas são fáceis de aplicar quando o denominador é linear em
, como no nosso caso.
Passo 3
Verificar se o polo
está dentro do círculo
:
- Calcular o módulo de
:
- Como
, concluímos que está dentro do círculo . Não há outros polos (o numerador é um polinômio), logo apenas esse polo contribui para a integral.
Passo 4
Calcular o resíduo em
.
- Escrevemos
com , que é analítica em . Assim
- Calcular passo a passo
e :
- Agora avaliar
:
- Desenvolvendo:
- Agrupando reais e imaginários:
reais:, imaginários: . Logo
Passo 5
Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir o valor da integral.
- Como há apenas o polo simples
dentro do círculo, a integral vale
- Substituindo o resíduo: