\int_{|z|=3} \frac{z^{3}-2 z-1}{z-1-i} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\int_{|z|=3} \frac{z^{3}-2 z-1}{z-1-i}\,dz.
Informações dadas e observações úteis (retiradas diretamente do enunciado):
  • A curva de integração é o círculo \{z:|z|=3\}, ou seja, centro 0 e raio 3.
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{z^{3}-2 z-1}{z-1-i}.
  • Há um potencial ponto singular quando o denominador se anula, isto é em z=1+i.
  • O que se pede: o valor da integral complexa ao longo do círculo |z|=3 (assumindo orientação positiva, isto é, sentido anti-horário).

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (ferramenta principal):
  • Para integrais de funções meromorfas em curvas fechadas simples e orientadas positivamente, usamos o Teorema dos Resíduos. Em forma simples:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f,a_k),
onde a soma é sobre os polos a_k de f que estão estritamente no interior de \gamma.
  • Se f(z)=\dfrac{g(z)}{z-z_0} com g analítica em z_0, então z_0 é um polo simples e
\operatorname{Res}(f,z_0)=g(z_0).
  • Alternativamente, para um polo simples,
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Estas fórmulas são fáceis de aplicar quando o denominador é linear em z, como no nosso caso.

Passo 3

Verificar se o polo z_0=1+i está dentro do círculo |z|=3:
  • Calcular o módulo de 1+i:
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}414.
  • Como \sqrt{2}<3, concluímos que z_0=1+i está dentro do círculo |z|=3. Não há outros polos (o numerador é um polinômio), logo apenas esse polo contribui para a integral.

Passo 4

Calcular o resíduo em z_0=1+i.
  • Escrevemos f(z)=\dfrac{g(z)}{z-(1+i)} com g(z)=z^{3}-2z-1, que é analítica em z_0. Assim
\operatorname{Res}(f,1+i)=g(1+i)=(1+i)^{3}-2(1+i)-1.
  • Calcular passo a passo (1+i)^{2} e (1+i)^{3}:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i,
(1+i)^{3}=(1+i)^{2}(1+i)=2i(1+i)=2i+2i^{2}=2i-2=-2+2i.
  • Agora avaliar g(1+i):
g(1+i)=(-2+2i)-2(1+i)-1.
  • Desenvolvendo:
(-2+2i)-2(1+i)-1 = (-2+2i)-2-2i-1.
  • Agrupando reais e imaginários:
    reais: -2-2-1=-5, imaginários: 2i-2i=0. Logo
\operatorname{Res}(f,1+i)=-5.

Passo 5

Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir o valor da integral.
  • Como há apenas o polo simples 1+i dentro do círculo, a integral vale
\int_{|z|=3} \frac{z^{3}-2 z-1}{z-1-i}\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}(f,1+i).
  • Substituindo o resíduo:
\int_{|z|=3} \frac{z^{3}-2 z-1}{z-1-i}\,dz = 2\pi i \cdot (-5)= -10\pi i.

Resposta

-10\pi i

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