Introduza a ideia de potencial elétrico a partir de campo vetorial conservativo. Calcule o potencial a partir do conhecimento do campo elétrico dentro e fora de uma esfera oca de raio R e que possui uma densidade de carga superfcial uniforme.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: O problema pede para apresentar a definição de potencial elétrico a partir de um campo vetorial conservativo e, em seguida, calcular o potencial dentro e fora de uma casca esférica oca de raio R com densidade superficial de carga uniforme sigma. Para isso, precisamos usar a relação entre o campo elétrico vec E e o potencial V, e conhecer vec E(r) para r<R e r>R.

Passo 2

Conceito de campo conservativo e potencial elétrico: Um campo vetorial vec E(vec r) é conservativo se existe uma função escalar V(vec r) (potencial) tal que vec E = -nabla V. Na prática, definimos a diferença de potencial entre dois pontos a e b por
V(b)-V(a) = -integrala^b vec Ecdot dvec l
Aqui escolhemos V(infty)=0.

Passo 3

Descrição do campo elétrico da casca esférica: Pelo teorema de Gauss ou resultado conhecido, o campo é nulo dentro da casca e equivalente ao de carga pontual Q no centro para r>R, onde Q=4pi R^2sigma. Em bloco:
vec E(r)=0, r<R,
vec E(r)=14piepsilon0,Qr^2,hat r, r>R

Passo 4

Cálculo de V(r) para r>R: Usamos
V(r)-V(infty)=-integralinfty^r vec Ecdot dvec l = -integralinfty^r 14piepsilon0Qr'^2dr'
Fazendo a integral radial:
V(r)=14piepsilon0Qr

Passo 5

Cálculo de V(r) para r<R: Para r<R, vec E=0, então o potencial é constante e igual ao valor na superfície r=R. Logo:
V(r)=V(R)=14piepsilon0QR

Passo 6

Expressão em termos de sigma: Substituindo Q=4pi R^2sigma, obtemos:
V(r)= sigma R^2epsilon0,1r, & r>R, sigma Repsilon0, & r<R

Resposta

O potencial elétrico da casca esférica de densidade superficial sigma é
V(r)= sigma R^2epsilon0,1r, & r>R, sigma Repsilon0, & r<R

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