Introduza a ideia de potencial elétrico a partir de campo vetorial conservativo. Calcule o potencial a partir do conhecimento do campo elétrico dentro e fora de uma esfera oca de raio e que possui uma densidade de carga superfcial uniforme.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: O problema pede para apresentar a definição de potencial elétrico a partir de um campo vetorial conservativo e, em seguida, calcular o potencial dentro e fora de uma casca esférica oca de raio com densidade superficial de carga uniforme . Para isso, precisamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial , e conhecer para e .
Passo 2
Conceito de campo conservativo e potencial elétrico: Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar (potencial) tal que . Na prática, definimos a diferença de potencial entre dois pontos e por
Aqui escolhemos .
Passo 3
Descrição do campo elétrico da casca esférica: Pelo teorema de Gauss ou resultado conhecido, o campo é nulo dentro da casca e equivalente ao de carga pontual no centro para , onde . Em bloco:
Passo 4
Cálculo de para : Usamos
Fazendo a integral radial:
Passo 5
Cálculo de para : Para , , então o potencial é constante e igual ao valor na superfície . Logo:
Passo 6
Expressão em termos de : Substituindo , obtemos:
Resposta
O potencial elétrico da casca esférica de densidade superficial sigma é