Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{div}(\mathrm{f} \mathrm{X}) =\operatorname{grad}(\mathrm{f}) \cdot \mathrm{X}+\mathrm{f} \operatorname{div}(\mathrm{X})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Vetores coluna
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[4pt]Q\\[4pt]R\end{pmatrix},
onde A,B,C,P,Q,R são funções de coordenadas (por exemplo de (x,y,z)).
  • A notação D X(Y) refere-se à multiplicação da matriz jacobiana D X (uma matriz 3\times 3) pelo vetor coluna Y (dimensão 3\times1), de modo que D X(Y) é um vetor coluna 3\times1.
  • Pede-se para mostrar a identidade
\operatorname{div}(fX)=\operatorname{grad}(f)\cdot X+f\,\operatorname{div}(X),
onde f é uma função escalar (dependendo das mesmas variáveis de A,B,C), \operatorname{grad}(f) é o gradiente de f, \operatorname{div} é a divergência e \cdot é o produto escalar.]

Passo 2

Definições e notação que vamos usar — explicando passo a passo:
  • O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais
\operatorname{grad}(f)=\nabla f=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}.
Isto significa que \nabla f tem componentes (\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f).
  • A divergência de um campo vetorial X=\begin{pmatrix}A\\\ B\\\ C\end{pmatrix} é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}(X)=\nabla\cdot X=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.
  • A multiplicação de uma função escalar f por um vetor X é feita componente a componente:
fX=\begin{pmatrix}fA\\[4pt] fB\\[4pt] fC\end{pmatrix}.
  • Regra do produto para derivadas parciais (versão escalar): para duas funções u(x,y,z) e v(x,y,z),
\frac{\partial}{\partial x}(u\,v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x},
e análogas para \partial_y e \partial_z. Esta regra é básica e será aplicada componente a componente.]

Passo 3

Calculemos diretamente a divergência de fX usando a definição componente a componente e a regra do produto:
\operatorname{div}(fX)=\frac{\partial}{\partial x}(fA)+\frac{\partial}{\partial y}(fB)+\frac{\partial}{\partial z}(fC).
Aplicando a regra do produto a cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(fA)=\frac{\partial f}{\partial x}\,A+f\,\frac{\partial A}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(fB)=\frac{\partial f}{\partial y}\,B+f\,\frac{\partial B}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(fC)=\frac{\partial f}{\partial z}\,C+f\,\frac{\partial C}{\partial z}.

Passo 4

Somando os três resultados do passo anterior:
\operatorname{div}(fX)=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}A+\frac{\partial f}{\partial y}B+\frac{\partial f}{\partial z}C\bigg) +f\bigg(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\bigg).
Agora reconheça os termos:
  • O primeiro parêntese é exatamente o produto escalar entre \nabla f e X:
\operatorname{grad}(f)\cdot X=\nabla f\cdot X=\frac{\partial f}{\partial x}A+\frac{\partial f}{\partial y}B+\frac{\partial f}{\partial z}C.
  • O segundo parêntese é \operatorname{div}(X).
    Portanto obtemos
\operatorname{div}(fX)=\operatorname{grad}(f)\cdot X+f\,\operatorname{div}(X),
que é exatamente a identidade pedida.

Passo 5

Interpretação matricial (opcional, curta e conceitual) — útil porque o enunciado explicou D X(Y):
  • A matriz jacobiana D X do campo X é a matriz 3\times3 cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de X:
D X=\begin{pmatrix} \partial_x A & \partial_y A & \partial_z A\\[4pt] \partial_x B & \partial_y B & \partial_z B\\[4pt] \partial_x C & \partial_y C & \partial_z C \end{pmatrix}.
  • A divergência é a traça dessa matriz:
\operatorname{div}(X)=\operatorname{tr}(D X)=\partial_x A+\partial_y B+\partial_z C.
  • A derivada total do produto fX satisfaz a regra do produto matricial
D(fX)=(\nabla f)\otimes X + f\,D X,
onde (\nabla f)\otimes X é o produto externo (matriz de posto 1) com elementos (\partial_i f)\,X_j. Tomando traça em ambos os lados e lembrando que a traça de um produto externo \operatorname{tr}((\nabla f)\otimes X)=\nabla f\cdot X, obtemos novamente
\operatorname{div}(fX)=\operatorname{tr}(D(fX))=\operatorname{tr}((\nabla f)\otimes X)+f\,\operatorname{tr}(D X) =\nabla f\cdot X+f\,\operatorname{div}(X).]

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (confirmação numérica simbólica):
  • Tome f(x,y,z)=x+y+z e X(x,y,z)=\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}.
  • Então \nabla f=(1,1,1)^\top e \nabla f\cdot X=1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z=x+y+z.
  • Também \operatorname{div}(X)=\partial_x x+\partial_y y+\partial_z z=1+1+1=3.
  • f\,\operatorname{div}(X)=3(x+y+z).
  • Logo \nabla f\cdot X+f\,\operatorname{div}(X)=x+y+z+3(x+y+z)=4(x+y+z).
  • Por outro lado fX=(x+y+z)(x,y,z)^\top e
\operatorname{div}(fX)=\partial_x\big((x+y+z)x\big)+\partial_y\big((x+y+z)y\big)+\partial_z\big((x+y+z)z\big),
que, aplicando a regra do produto, também dá 4(x+y+z). Concorda com a identidade.

Resposta

\operatorname{div}(fX)=\operatorname{grad}(f)\cdot X+f\,\operatorname{div}(X)

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