X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{div}(\mathrm{f} \mathrm{X}) =\operatorname{grad}(\mathrm{f}) \cdot \mathrm{X}+\mathrm{f} \operatorname{div}(\mathrm{X})
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
onde A,B,C,P,Q,R são funções de coordenadas (por exemplo de (x,y,z)).
A notação D X(Y) refere-se à multiplicação da matriz jacobiana D X (uma matriz 3\times 3) pelo vetor coluna Y (dimensão 3\times1), de modo que D X(Y) é um vetor coluna 3\times1.
onde f é uma função escalar (dependendo das mesmas variáveis de A,B,C), \operatorname{grad}(f) é o gradiente de f, \operatorname{div} é a divergência e \cdot é o produto escalar.]
Passo 2
Definições e notação que vamos usar — explicando passo a passo:
O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais
Interpretação matricial (opcional, curta e conceitual) — útil porque o enunciado explicou D X(Y):
A matriz jacobiana D X do campo X é a matriz 3\times3 cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de X:
D X=\begin{pmatrix} \partial_x A & \partial_y A & \partial_z A\\[4pt] \partial_x B & \partial_y B & \partial_z B\\[4pt] \partial_x C & \partial_y C & \partial_z C \end{pmatrix}.
A divergência é a traça dessa matriz:
\operatorname{div}(X)=\operatorname{tr}(D X)=\partial_x A+\partial_y B+\partial_z C.
A derivada total do produto fX satisfaz a regra do produto matricial
D(fX)=(\nabla f)\otimes X + f\,D X,
onde (\nabla f)\otimes X é o produto externo (matriz de posto 1) com elementos (\partial_i f)\,X_j. Tomando traça em ambos os lados e lembrando que a traça de um produto externo \operatorname{tr}((\nabla f)\otimes X)=\nabla f\cdot X, obtemos novamente