Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathrm{X})) =0

Passo 1

O enunciado dá um vetor coluna X com componentes A,B,C e pede para mostrar que
\operatorname{div}(\operatorname{rot}(X))=0.
Informações e hipóteses que vamos usar (tiradas do enunciado e necessárias para o resultado):
  • X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix} onde A=A(x,y,z),\,B=B(x,y,z),\,C=C(x,y,z).
  • Assumir que A,B,C têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa região (isto é, A,B,C\in C^2). Essa hipótese garante que as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut / Schwarz).
  • Objetivo claro: calcular \operatorname{div}(\operatorname{rot}(X)) e mostrar que o resultado é zero.]

Passo 2

Introdução da notação de vetor coluna (já indicada no enunciado). Vamos escrever explicitamente:
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[4pt]Q\\[4pt]R\end{pmatrix}.
Explicando a notação: multiplicação de uma matriz D X de dimensão 3\times3 por um vetor coluna Y de dimensão 3\times1 é denotada por D X(Y) e resulta num vetor coluna 3\times1. Aqui, para nossa identidade, só precisamos trabalhar com operações diferenciais sobre X.]

Passo 3

Definição e notação das derivadas parciais e dos operadores fundamentais:
  • Denotamos por \partial_x o operador \dfrac{\partial}{\partial x}, e analogamente \partial_y,\partial_z.
  • O operador nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
  • A divergência de X é
\operatorname{div}X=\nabla\cdot X=\partial_x A+\partial_y B+\partial_z C,
ou, em notação abreviada, A_x+B_y+C_z, onde A_x=\partial_x A, etc.

Passo 4

Definição do rotacional (curl). O rotacional de X é \operatorname{rot}X=\nabla\times X. Escrevendo explicitamente os componentes (obtidos a partir do produto vetorial):
\operatorname{rot}X = \begin{pmatrix} \partial_y C-\partial_z B\\[4pt] \partial_z A-\partial_x C\\[4pt] \partial_x B-\partial_y A \end{pmatrix}.
Em notação reduzida:
\operatorname{rot}X=\begin{pmatrix}C_y-B_z\\[3pt]A_z-C_x\\[3pt]B_x-A_y\end{pmatrix},
onde, por exemplo, C_y=\partial_y C, B_z=\partial_z B etc.]

Passo 5

Agora calculamos a divergência do rotacional, usando as expressões acima:
\begin{aligned} \operatorname{div}(\operatorname{rot}X) &= \partial_x(C_y-B_z)+\partial_y(A_z-C_x)+\partial_z(B_x-A_y)\\[4pt] &= C_{yx}-B_{zx}+A_{zy}-C_{xy}+B_{xz}-A_{yz}, \end{aligned}
onde, por exemplo, C_{yx}=\partial_x(\partial_y C)=\partial_y\partial_x C, etc.]

Passo 6

Aplicamos a igualdade das derivadas mistas (hipótese C^2): para funções com derivadas segundas contínuas vale
C_{yx}=C_{xy},\quad B_{xz}=B_{zx},\quad A_{zy}=A_{yz}.
Substituindo essas igualdades no somatório do passo anterior, cada termo se anula com o correspondente:
C_{yx}-C_{xy}=0,\qquad B_{xz}-B_{zx}=0,\qquad A_{zy}-A_{yz}=0.
Logo
\operatorname{div}(\operatorname{rot}X)=0.

Passo 7

Interpretação rápida e exemplo para fixar (opcional, mas útil): a identidade diz que o campo rotacional não tem “fontes” líquidas — o fluxo que sai de uma caixa por efeito de rotação cancela. Exemplo concreto: tome X=(-y,x,0). Então
\operatorname{rot}X=\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]2\end{pmatrix},
e \operatorname{div}(\operatorname{rot}X)=0 de forma explícita. Isso bate com a identidade geral mostrada acima.]

Resposta

0

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