X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades. \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathrm{X})) =0
Passo 1
O enunciado dá um vetor coluna X com componentes A,B,C e pede para mostrar que
\operatorname{div}(\operatorname{rot}(X))=0.
Informações e hipóteses que vamos usar (tiradas do enunciado e necessárias para o resultado):
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix} onde A=A(x,y,z),\,B=B(x,y,z),\,C=C(x,y,z).
Assumir que A,B,C têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa região (isto é, A,B,C\in C^2). Essa hipótese garante que as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut / Schwarz).
Objetivo claro: calcular \operatorname{div}(\operatorname{rot}(X)) e mostrar que o resultado é zero.]
Passo 2
Introdução da notação de vetor coluna (já indicada no enunciado). Vamos escrever explicitamente:
Explicando a notação: multiplicação de uma matriz D X de dimensão 3\times3 por um vetor coluna Y de dimensão 3\times1 é denotada por D X(Y) e resulta num vetor coluna 3\times1. Aqui, para nossa identidade, só precisamos trabalhar com operações diferenciais sobre X.]
Passo 3
Definição e notação das derivadas parciais e dos operadores fundamentais:
Denotamos por \partial_x o operador \dfrac{\partial}{\partial x}, e analogamente \partial_y,\partial_z.
O operador nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
ou, em notação abreviada, A_x+B_y+C_z, onde A_x=\partial_x A, etc.
Passo 4
Definição do rotacional (curl). O rotacional de X é \operatorname{rot}X=\nabla\times X. Escrevendo explicitamente os componentes (obtidos a partir do produto vetorial):
Interpretação rápida e exemplo para fixar (opcional, mas útil): a identidade diz que o campo rotacional não tem “fontes” líquidas — o fluxo que sai de uma caixa por efeito de rotação cancela. Exemplo concreto: tome X=(-y,x,0). Então