Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(\mathrm{f})) =0

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Foi introduzida a notação de vetor coluna; por exemplo
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[4pt]Q\\[4pt]R\end{pmatrix},
e a notação D X(Y) significa multiplicar a matriz jacobiana D X (tamanho 3\times3) pelo vetor coluna Y (tamanho 3\times1), resultando num vetor coluna 3\times1.
  • O objetivo é mostrar a identidade
\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(f))=0,
ou seja, que o rotor (curl) do gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor nulo.]

Passo 2

Definição clara do gradiente e notação usada:
  • Seja f=f(x,y,z) uma função com derivadas parciais até segunda ordem (vamos exigir que f seja C^2, isto é, as segundas derivadas parciais sejam contínuas — isso será usado depois).
  • O gradiente de f é o vetor campo formado pelas derivadas parciais de primeira ordem. Em notação de vetor coluna:
\operatorname{grad}(f)=\nabla f=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}.
Aqui escrevo, para ficar mais curto,
A=\dfrac{\partial f}{\partial x},\qquad B=\dfrac{\partial f}{\partial y},\qquad C=\dfrac{\partial f}{\partial z},
ou seja \nabla f=\begin{pmatrix}A\B\C\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição do rotor (curl) em coordenadas:
  • Para um campo vetorial \mathbf{F}=\begin{pmatrix}A\B\C\end{pmatrix} (com A,B,C funções de x,y,z), o rotor é o vetor dado por
\operatorname{rot}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial C}{\partial y}-\dfrac{\partial B}{\partial z}\\[8pt] \dfrac{\partial A}{\partial z}-\dfrac{\partial C}{\partial x}\\[8pt] \dfrac{\partial B}{\partial x}-\dfrac{\partial A}{\partial y} \end{pmatrix}.
  • Cada componente é uma diferença de derivadas parciais cruzadas (por exemplo, a primeira componente compara como C muda com y com como B muda com z).]

Passo 4

Substituir \mathbf{F}=\nabla f na fórmula do rotor e calcular cada componente:
  • Tome \mathbf{F}=\nabla f=\begin{pmatrix}A\B\C\end{pmatrix} com A=f_x, B=f_y, C=f_z. Então
\operatorname{rot}(\nabla f)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_z\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(f_y\bigr)\\[8pt] \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(f_x\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(f_z\bigr)\\[8pt] \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr) \end{pmatrix}.
  • Em notação de derivadas de segunda ordem isso é
\operatorname{rot}(\nabla f)= \begin{pmatrix} f_{zy}-f_{yz}\\[6pt] f_{xz}-f_{zx}\\[6pt] f_{yx}-f_{xy} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Usar a igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz / Clairaut):
  • O teorema de Schwarz diz que se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (ou seja f\in C^2), então as derivadas mistas são iguais:
f_{yz}=f_{zy},\qquad f_{xz}=f_{zx},\qquad f_{xy}=f_{yx}.
  • Aplicando isso às componentes do vetor do Passo 4, cada diferença é zero. Logo cada componente do rotor é zero e, portanto,
\operatorname{rot}(\nabla f)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação alternativa (útil na prova): argumento via matriz Hessiana
  • O jacobiano de \nabla f é a matriz das segundas derivadas (Hessiana):
D(\nabla f)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_{xz}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} & f_{yz}\\[4pt] f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix}.
  • Se f\in C^2 essa matriz é simétrica, porque f_{ij}=f_{ji}. O rotor de \nabla f pode ser visto (até sinais e permutações) como formado pelas diferenças entre entradas simétricas fora da diagonal — isto é, pelo componente antissimétrico da Hessiana. Como a Hessiana é simétrica, a parte antissimétrica é nula, então o rotor é o vetor nulo. Esse argumento é mais compacto e explica por que a igualdade das mistas é exatamente o que é necessária.]

Passo 7

Exemplo concreto e dica prática para a prova:
  • Exemplo rápido: tome f(x,y,z)=x^2y+z. Então
\nabla f=\begin{pmatrix}2xy\\[4pt]x^2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcule o rotor:
\operatorname{rot}(\nabla f)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial y}(1)-\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2)\\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial z}(2xy)-\dfrac{\partial}{\partial x}(1)\\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0-0\\[4pt]0-0\\[4pt]2x-2x\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Dica rápida: na prova, verifique primeiro se f é C^2; se sim, basta substituir A=f_x etc. e escrever as componentes como diferenças de mistas — aí já se conclui que são zeros.]

Resposta

\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(f))=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados