X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades. \operatorname{rot}(\operatorname{grad}(\mathrm{f})) =0
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
Foi introduzida a notação de vetor coluna; por exemplo
e a notação D X(Y) significa multiplicar a matriz jacobiana D X (tamanho 3\times3) pelo vetor coluna Y (tamanho 3\times1), resultando num vetor coluna 3\times1.
O objetivo é mostrar a identidade
\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(f))=0,
ou seja, que o rotor (curl) do gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor nulo.]
Passo 2
Definição clara do gradiente e notação usada:
Seja f=f(x,y,z) uma função com derivadas parciais até segunda ordem (vamos exigir que f seja C^2, isto é, as segundas derivadas parciais sejam contínuas — isso será usado depois).
O gradiente de f é o vetor campo formado pelas derivadas parciais de primeira ordem. Em notação de vetor coluna:
Se f\in C^2 essa matriz é simétrica, porque f_{ij}=f_{ji}. O rotor de \nabla f pode ser visto (até sinais e permutações) como formado pelas diferenças entre entradas simétricas fora da diagonal — isto é, pelo componente antissimétrico da Hessiana. Como a Hessiana é simétrica, a parte antissimétrica é nula, então o rotor é o vetor nulo. Esse argumento é mais compacto e explica por que a igualdade das mistas é exatamente o que é necessária.]
Dica rápida: na prova, verifique primeiro se f é C^2; se sim, basta substituir A=f_x etc. e escrever as componentes como diferenças de mistas — aí já se conclui que são zeros.]