X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Vou trabalhar em coordenadas (componentes) e mostrar passo a passo a identidade correta usando notação indicial (soma de Einstein), explicando tudo devagarinho.]
Passo 2
Definições em componentes (o que cada coisa significa):
A componente i-ésima de X é X_i. No nosso caso X_1=A,\;X_2=B,\;X_3=C. Analogamente Y_1=P,\;Y_2=Q,\;Y_3=R.
A divergente de um campo vetorial Z é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}Z=\partial_i Z_i,
onde \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x_i}. (Uso soma sobre índices repetidos.)
onde \varepsilon_{mab} é o símbolo de Levi-Civita (explico em seguida).
Produto escalar em componentes: X\cdot\operatorname{rot}Y=X_m(\operatorname{rot}Y)_m.
Passo 3
Símbolo de Levi-Civita e produto vetorial em componentes:
\varepsilon_{ijk} vale +1 para permutações cíclicas (1,2,3)\to(2,3,1) etc., vale -1 para permutações não-cíclicas (troca de dois índices) e 0 se dois índices iguais.
Produto vetorial em componentes:
(X\wedge Y)_i=\varepsilon_{ijk}\,X_j\,Y_k.
Isto é: a componente i de X\times Y é \varepsilon_{ijk}X_jY_k. (Estou usando \wedge para o produto vetorial, conforme seu enunciado.)
Passo 4
Calcular a divergente do produto vetorial em componente única:
Agora compare com T_1. Faça a renomeação de índices em T_1: tome m:=k,\;a:=i,\;b:=j. Como uma renomeação de índices somados não altera o valor, obtemos
Observação importante (pra não ficar dúvida): o sinal entre os dois termos é negativo. Se alguém escreveu a identidade com sinal + (como no enunciado que você transcreveu), essa versão está trocada de sinal; a demonstração componente a componente mostra claramente que aparece um menos no segundo termo.