Ao introduzirmos um resistor ® em série em um circuito LC, formando um circuito RLC, as oscilações de carga tornam-se amortecidas.
Diferencie, conceitualmente, os três regimes de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) em termos do comportamento da carga q(t) no capacitor após ele ser carregado e a chave fechada.

Passo 1

O enunciado pede que eu diferencie, conceitualmente, os três regimes de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) em um circuito RLC série, descrevendo o comportamento da carga q(t) no capacitor depois que ele foi carregado e a chave é fechada.
As informações implícitas que vou usar (todas padrão para esse problema): o circuito é série com indutor L, resistor R e capacitor C; o capacitor está inicialmente carregado com carga inicial q(0)=Q e a corrente inicial na bobina é i(0)=\dot q(0)=0 (situação típica: carrega-se o capacitor com a chave aberta e fecha-se em t=0). Quero descrever qualitativamente (e com as fórmulas essenciais) como q(t) evolui em cada regime.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial que governa q(t).
A lei de Kirchhoff de tensão no laço RLC série fornece, para correntes positivas convencionais, a soma das quedas de tensão nula:
L\ddot q + R\dot q + \frac{1}{C}q = 0.
Aqui: \ddot q é a segunda derivada da carga (relacionada à derivada da corrente), \dot q é a corrente i(t), L é a indutância, R a resistência e C a capacitância. Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Característica da equação e parâmetros importantes.
Para resolver qualitativamente, formamos a equação característica substituindo q(t)\propto e^{st}:
Ls^2 + Rs + \frac{1}{C} = 0.
Dividindo por L e definindo a frequência natural \omega_0 e o coeficiente de amortecimento \alpha:
s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0,
onde
\alpha = \frac{R}{2L},\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Explicação curta: \omega_0 é a frequência angular natural do oscilador sem resistência (quanto mais L e C maiores, mais lenta a oscilação). \alpha mede a taxa de decaimento exponencial causada pelo resistor (quanto maior R, maior \alpha).

Passo 4

Discriminante e definição dos regimes usando o discriminante \alpha^2-\omega_0^2 (ou o fator adimensional \zeta).
As raízes da característica são
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
Definimos também a razão de amortecimento adimensional
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_0}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}.
Os regimes são determinados por:
  • supercrítico (ou overdamped): \alpha^2>\omega_0^2 equivalently \zeta>1;
  • crítico (critical damping): \alpha^2=\omega_0^2 equivalently \zeta=1;
  • subcrítico (underdamped): \alpha^2<\omega_0^2 equivalently \zeta<1.

Passo 5

Como interpretar fisicamente esses critérios.
  • Quando \alpha domina ( \zeta>1), a resistência é grande e “engole” a energia rapidamente sem permitir oscilações.
  • Quando \alpha é exatamente igual a \omega_0 ( \zeta=1), tem-se o limite que dá a maior rapidez de retorno ao equilíbrio sem oscilar.
  • Quando \omega_0 domina ( \zeta<1), a inércia do indutor e a energia do capacitor geram oscilações, mas o resistor dissipa gradualmente essa energia fazendo a amplitude decair com o tempo.

Passo 6

Regime supercrítico ( \zeta>1, ou \alpha^2>\omega_0^2). Fórmula geral e comportamento qualitativo.
As raízes s_1 e s_2 são reais e negativas. A solução geral é
q(t)=A e^{s_1 t}+B e^{s_2 t},
com s_1<s_2<0. Usando as condições iniciais q(0)=Q e \dot q(0)=0 determina-se A,B (não preciso de valores numéricos aqui). O comportamento importante: q(t) decai para zero como soma de duas exponenciais negativas, sem oscilar sinusoidalmente. Características práticas a notar:
  • Não há sinais alternados periódicos; a carga tende monotonicamente para zero (ou em alguns casos pode haver uma mudança de sinal uma única vez dependendo dos coeficientes, mas não há comportamento oscilatório periódico).
  • A aproximação a zero é mais lenta do que no caso crítico por causa de um expoente com módulo menor que no caso crítico (há uma componente lenta).
  • Se quiser o valor crítico de R que separa regimes: a resistência crítica é
R_{\text{cr}}=2\sqrt{\frac{L}{C}}.
Para R>R_{\text{cr}} você está no regime supercrítico.

Passo 7

Regime crítico ( \zeta=1, ou \alpha^2=\omega_0^2, R=R_{\text{cr}}). Fórmula e interpretação.
Aqui a equação característica tem raiz dupla s=-\alpha. A solução é
q(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}.
Com as condições iniciais padrão q(0)=Q, \dot q(0)=0 obtemos A=Q e B=\alpha Q (pode-se derivar explicitamente se quiser). O que importa conceitualmente:
  • Não há oscilações (não aparecem termos sen/cos).
  • O decaimento é do tipo (\text{polinômio em }t)\times e^{-\alpha t}ô; para uma raiz dupla, existe um fator t que permite que o sistema afaste-se (se preciso) da curva exponencial pura no início, e isso produz o retorno mais rápido ao equilíbrio sem ultrapassá-lo.
  • Dizemos que é o caso de “amortecimento ótimo”: para um dado L e C, esse R_{\text{cr}} faz com que o sistema volte ao equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar.

Passo 8

Regime subcrítico ( \zeta<1, ou \alpha^2<\omega_0^2). Fórmula e interpretação física.
As raízes são complexas conjugadas:
s=-\alpha \pm i\omega_d,\qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}.
A solução real típica pode ser escrita como
q(t)=e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big).
Com as condições iniciais q(0)=Q e \dot q(0)=0 obtemos explicitamente
q(t)=Q\,e^{-\alpha t}\!\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).
Comportamento qualitativo:
  • q(t) oscila sinusoidalmente com frequência angular \omega_d (a frequência “observada”), enquanto a amplitude dessas oscilações decai exponencialmente com fator e^{-\alpha t}.
  • A energia vai sendo dissipada pelo resistor, portanto as oscilações vão reduzindo amplitude até o sistema se estabilizar em q=0.
  • Se R é muito pequeno, \alpha é pequeno e as oscilações têm lenta atenuação (muitas oscilações antes de cessarem).

Passo 9

Comparação direta e intuição prática (resumindo para decorar na prova).
  • Supercrítico ( R>R_{\text{cr}}, \zeta>1): sem oscilações, soma de duas exponenciais negativas; retorno ao zero é lento (predominado pela componente de decaimento mais lento).
  • Crítico ( R=R_{\text{cr}}, \zeta=1): sem oscilações, forma (A+Bt)e^{-\alpha t}; é o retorno mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar. Ótimo se você quer “chegar logo” ao zero sem ultrapassar.
  • Subcrítico ( R<R_{\text{cr}}, \zeta<1): oscilações amortecidas, q(t) oscila com frequência \omega_d e amplitude que decai como e^{-\alpha t}. Ótimo para circuitos oscilantes (ex.: ressonância), mas o resistor vai apagar as oscilações com o tempo.

Passo 10

Observações finais rápidas para facilitar a resolução em prova.
  • Sempre comece escrevendo \;L\ddot q+R\dot q+\frac{1}{C}q=0\; e identifique \alpha e \omega_0.
  • Calcule \zeta=\alpha/\omega_0 (ou compare \alpha^2 com \omega_0^2), isso já classifica o regime.
  • Se for pedido o comportamento explícito use as formas das soluções que mostrei e aplique q(0)=Q,\\ \dot q(0)=0 para obter constantes.
  • Lembre-se da resistência crítica \;R_{\text{cr}}=2\sqrt{L/C}\; — vale decorar para identificar regimes rapidamente.

Resposta

Supercrítico (overdamped, \zeta>1): q(t) é soma de duas exponenciais reais negativas q(t)=A e^{s_1 t}+B e^{s_2 t} (com s_{1,2}<0), não há oscilações; a carga decai para zero monotonamente (retorno sem oscilar, geralmente mais lento que no caso crítico).
Crítico (critical, \zeta=1): q(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t} com raiz dupla s=-\alpha; não há oscilações e o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar (amortecimento “ótimo”).
Subcrítico (underdamped, \zeta<1): q(t)=e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big), com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}; ocorrem oscilações cuja amplitude decai exponencialmente como e^{-\alpha t}.

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