Ao introduzirmos um resistor ® em série em um circuito LC, formando um circuito RLC, as oscilações de carga tornam-se amortecidas.
Diferencie, conceitualmente, os três regimes de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) em termos do comportamento da carga
no capacitor após ele ser carregado e a chave fechada.
Diferencie, conceitualmente, os três regimes de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) em termos do comportamento da carga
Passo 1
O enunciado pede que eu diferencie, conceitualmente, os três regimes de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) em um circuito RLC série, descrevendo o comportamento da carga
no capacitor depois que ele foi carregado e a chave é fechada.
As informações implícitas que vou usar (todas padrão para esse problema): o circuito é série com indutor , resistor
e capacitor
; o capacitor está inicialmente carregado com carga inicial
e a corrente inicial na bobina é
(situação típica: carrega-se o capacitor com a chave aberta e fecha-se em
). Quero descrever qualitativamente (e com as fórmulas essenciais) como
evolui em cada regime.
As informações implícitas que vou usar (todas padrão para esse problema): o circuito é série com indutor
Passo 2
Escrevendo a equação diferencial que governa
.
A lei de Kirchhoff de tensão no laço RLC série fornece, para correntes positivas convencionais, a soma das quedas de tensão nula:
A lei de Kirchhoff de tensão no laço RLC série fornece, para correntes positivas convencionais, a soma das quedas de tensão nula:
Aqui:
é a segunda derivada da carga (relacionada à derivada da corrente),
é a corrente
,
é a indutância,
a resistência e
a capacitância. Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Característica da equação e parâmetros importantes.
Para resolver qualitativamente, formamos a equação característica substituindo :
Para resolver qualitativamente, formamos a equação característica substituindo
Dividindo por
e definindo a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento
:
onde
Explicação curta:
é a frequência angular natural do oscilador sem resistência (quanto mais L e C maiores, mais lenta a oscilação).
mede a taxa de decaimento exponencial causada pelo resistor (quanto maior
, maior
).
Passo 4
Discriminante e definição dos regimes usando o discriminante
(ou o fator adimensional
).
As raízes da característica são
As raízes da característica são
Definimos também a razão de amortecimento adimensional
Os regimes são determinados por:
- supercrítico (ou overdamped):
equivalently ; - crítico (critical damping):
equivalently ; - subcrítico (underdamped):
equivalently .
Passo 5
Como interpretar fisicamente esses critérios.
- Quando
domina ( ), a resistência é grande e “engole” a energia rapidamente sem permitir oscilações. - Quando
é exatamente igual a ( ), tem-se o limite que dá a maior rapidez de retorno ao equilíbrio sem oscilar. - Quando
domina ( ), a inércia do indutor e a energia do capacitor geram oscilações, mas o resistor dissipa gradualmente essa energia fazendo a amplitude decair com o tempo.
Passo 6
Regime supercrítico (
, ou
). Fórmula geral e comportamento qualitativo.
As raízes e
são reais e negativas. A solução geral é
As raízes
com
. Usando as condições iniciais
e
determina-se
(não preciso de valores numéricos aqui). O comportamento importante:
decai para zero como soma de duas exponenciais negativas, sem oscilar sinusoidalmente. Características práticas a notar:
- Não há sinais alternados periódicos; a carga tende monotonicamente para zero (ou em alguns casos pode haver uma mudança de sinal uma única vez dependendo dos coeficientes, mas não há comportamento oscilatório periódico).
- A aproximação a zero é mais lenta do que no caso crítico por causa de um expoente com módulo menor que no caso crítico (há uma componente lenta).
- Se quiser o valor crítico de
que separa regimes: a resistência crítica é
Para
você está no regime supercrítico.
Passo 7
Regime crítico (
, ou
,
). Fórmula e interpretação.
Aqui a equação característica tem raiz dupla . A solução é
Aqui a equação característica tem raiz dupla
Com as condições iniciais padrão
,
obtemos
e
(pode-se derivar explicitamente se quiser). O que importa conceitualmente:
- Não há oscilações (não aparecem termos sen/cos).
- O decaimento é do tipo
; para uma raiz dupla, existe um fator que permite que o sistema afaste-se (se preciso) da curva exponencial pura no início, e isso produz o retorno mais rápido ao equilíbrio sem ultrapassá-lo. - Dizemos que é o caso de “amortecimento ótimo”: para um dado L e C, esse
faz com que o sistema volte ao equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar.
Passo 8
Regime subcrítico (
, ou
). Fórmula e interpretação física.
As raízes são complexas conjugadas:
As raízes são complexas conjugadas:
A solução real típica pode ser escrita como
Com as condições iniciais
e
obtemos explicitamente
Comportamento qualitativo:
-
oscila sinusoidalmente com frequência angular (a frequência “observada”), enquanto a amplitude dessas oscilações decai exponencialmente com fator . - A energia vai sendo dissipada pelo resistor, portanto as oscilações vão reduzindo amplitude até o sistema se estabilizar em
. - Se
é muito pequeno, é pequeno e as oscilações têm lenta atenuação (muitas oscilações antes de cessarem).
Passo 9
Comparação direta e intuição prática (resumindo para decorar na prova).
- Supercrítico (
, ): sem oscilações, soma de duas exponenciais negativas; retorno ao zero é lento (predominado pela componente de decaimento mais lento). - Crítico (
, ): sem oscilações, forma ; é o retorno mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar. Ótimo se você quer “chegar logo” ao zero sem ultrapassar. - Subcrítico (
, ): oscilações amortecidas, oscila com frequência e amplitude que decai como . Ótimo para circuitos oscilantes (ex.: ressonância), mas o resistor vai apagar as oscilações com o tempo.
Passo 10
Observações finais rápidas para facilitar a resolução em prova.
- Sempre comece escrevendo
e identifique e . - Calcule
(ou compare com ), isso já classifica o regime. - Se for pedido o comportamento explícito use as formas das soluções que mostrei e aplique
para obter constantes. - Lembre-se da resistência crítica
— vale decorar para identificar regimes rapidamente.
Resposta
Supercrítico (overdamped,
):
é soma de duas exponenciais reais negativas
(com
), não há oscilações; a carga decai para zero monotonamente (retorno sem oscilar, geralmente mais lento que no caso crítico).
Crítico (critical, ):
com raiz dupla
; não há oscilações e o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar (amortecimento “ótimo”).
Subcrítico (underdamped, ):
, com
; ocorrem oscilações cuja amplitude decai exponencialmente como
.
Crítico (critical,
Subcrítico (underdamped,