Ao introduzirmos um resistor ® em série em um circuito LC, formando um circuito RLC, as oscilações de carga tornam-se amortecidas.
A frequência angular das oscilações amortecidas ( \omega^{\prime} ) é maior, menor ou igual à frequência angular da oscilação natural (\omega=1 / \sqrt{L C}) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a frequência angular das oscilações amortecidas \omega' em um circuito série RLC é maior, menor ou igual à frequência angular natural \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Há um circuito série formado por um indutor L, um capacitor C e um resistor R.
  • A presença de R torna as oscilações amortecidas.
  • Pergunta-se a relação entre \omega' (frequência angular das oscilações amortecidas) e \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} (frequência angular natural do par LC sem resistência).

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial que descreve a dinâmica da carga q(t) no circuito série RLC. Use a Lei de Kirchhoff das tensões: a soma das quedas de tensão em L, R e C é zero (sem fonte externa). As quedas são:
  • indutor: L\frac{dI}{dt} onde I(t)=\dfrac{dq}{dt},
  • resistor: R I(t)=R\frac{dq}{dt},
  • capacitor: \dfrac{q(t)}{C}.
    Substituindo I=\dfrac{dq}{dt} obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Aqui: q(t) é a carga no capacitor, L é a indutância, R a resistência e C a capacitância.

Passo 3

Para resolver essa equação linear de coeficientes constantes usamos a tentativa padrão exponencial. Supomos uma solução da forma \;q(t)=Q e^{st}\; com Q constante e s (possivelmente complexo) a determinar. Substituindo na equação diferencial:
L s^{2} Q e^{st} + R s Q e^{st} + \frac{1}{C} Q e^{st} = 0.
Como Q e^{st} não é identicamente zero, divide-se por ele e obtemos a equação característica (quadrática em s):
L s^{2} + R s + \frac{1}{C} = 0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática para s usando a fórmula de Bhaskara:
s = \frac{-R \pm \sqrt{R^{2} - 4\frac{L}{C}}}{2L}.
Definimos o discriminante \Delta = R^{2} - 4\frac{L}{C}. O tipo de solução depende do sinal de \Delta:
  • \Delta>0: duas raízes reais (sobreamortecido, sem oscilações).
  • \Delta=0: raiz dupla (amortecimento crítico, sem oscilações).
  • \Delta<0: raízes complexas conjugadas (subamortecido, oscilações amortecidas). O caso de oscilações corresponde a \Delta<0, i.e. R^{2} < 4\frac{L}{C}.

Passo 5

No caso subamortecido (oscilações amortecidas) as raízes escrevem-se como
s = -\alpha \pm i\omega',
onde \alpha é a taxa de decaimento (parte real negativa) e \omega' é a frequência angular das oscilações amortecidas (parte imaginária em módulo). Vamos extrair \alpha e \omega' da expressão da fórmula quadrática. Quando \Delta<0 escrevemos \sqrt{\Delta} = i\sqrt{4\frac{L}{C}-R^{2}}. Assim
s = \frac{-R}{2L} \pm i\frac{\sqrt{4\frac{L}{C}-R^{2}}}{2L}.
Então definimos explicitamente
\alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega' = \frac{\sqrt{4\frac{L}{C}-R^{2}}}{2L}.

Passo 6

Manipulamos \omega' de forma a relacioná-la com a frequência natural \omega. Observe que
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Calcule \omega'^{2} a partir da expressão acima:
\omega'^{2} = \left(\frac{\sqrt{4\frac{L}{C}-R^{2}}}{2L}\right)^{2} = \frac{4\frac{L}{C}-R^{2}}{4L^{2}} = \frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^{2}.
Usando \omega^{2}=\dfrac{1}{LC} temos
\omega'^{2} = \omega^{2} - \left(\frac{R}{2L}\right)^{2}.
Como \left(\dfrac{R}{2L}\right)^{2} é positivo para R>0, segue que \omega'^{2}<\omega^{2} e, tomando raízes positivas (frequências angulares positivas),
\omega' < \omega.
Isto vale no regime subamortecido (onde ocorrem as oscilações). Se R=0 recuperamos \omega'=\omega. Se R aumenta até o valor crítico R^{2}=4\frac{L}{C} então \omega'\to 0 e as oscilações desaparecem.

Passo 7

Interpretação física e exemplo numérico rápido para fixar: a resistência dissipa energia, fazendo o sistema perder energia a cada oscilação; isto reduz não só a amplitude (amortecimento) como também diminui ligeiramente a velocidade das oscilações, portanto a frequência efetiva \omega' fica menor que a frequência natural \omega do par LC ideal. Exemplo com números fáceis: escolha \;L=1\\ \text{H},\\ C=1\\ \text{F},\\ R=0{,}5\\ \Omega. Então \omega=1. Calculamos \alpha=\dfrac{R}{2L}=0{,}25 e
\omega'=\sqrt{1 - 0{,}25^{2}}=\sqrt{0{,}9375}\approx 0{,}968,
logo \omega'<\omega. Isso ilustra a regra geral.

Passo 8

Resumo prático para a prova: derive rapidamente a equação característica a partir de L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=0, encontre as raízes s, identifique \omega'=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\left(\dfrac{R}{2L}\right)^{2}} e compare com \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}. Sempre que R>0 (e o circuito for subamortecido) terá \omega'<\omega; para R=0 ocorre \omega'=\omega; para R grande não há oscilações.

Resposta

Menor: \displaystyle \omega'=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}}<\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}

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