Problema 1.

Considere um circuito LC ideal (sem resistência) oscilando livremente.
a. Descreva detalhadamente a analogia entre este sistema e um sistema massa-mola horizontal ideal (sem atrito). Especifique claramente quais grandezas elétricas (Carga q, Corrente i, Indutância L, Capacitância C ) correspondem às grandezas mecânicas (Posição x, Velocidade v, Massa m, Constante elástica k ).
b. Discorra sobre a transferência de energia durante um ciclo completo de oscilação. Em que momentos a energia está armazenada predominantemente no campo elétrico do capacitor? Em que momentos está predominantemente no campo magnético do indutor?
c. Se a capacitância C for quadruplicada ( 4 C ), o que acontece com a frequência angular ( \omega ) de oscilação? Justifique sua resposta usando a analogia do item (a).

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e dá que o circuito é um LC ideal (sem resistência) com grandezas elétricas q, i, L, C.
  • (a) Fazer a analogia detalhada entre o circuito LC e um sistema massa-mola horizontal ideal (sem atrito): identificar claramente as correspondências entre q, i, L, C e x, v, m, k.
  • (b) Descrever a transferência de energia durante um ciclo de oscilação: em que instantes a energia está predominantemente no campo elétrico do capacitor e em que instantes está no campo magnético do indutor.
  • (c) Se a capacitância C for quadruplicada ( 4C), dizer o que acontece com a frequência angular \omega e justificar usando a analogia do item (a).
As informações relevantes: circuito LC ideal sem perdas; variáveis elétricas q(t) (carga no capacitor), i(t) (corrente no circuito), e parâmetros L e C. Não há resistência nem forças dissipativas.

Passo 2

Escrever a equação do circuito LC (passo-a-passo).
  • Kirchhoff para a malha LC dá que a soma das quedas de tensão é zero: tensão no indutor v_L mais tensão no capacitor v_C é zero.
  • A tensão no indutor é v_L = L\,\dfrac{di}{dt}. Aqui i(t) é a corrente; L é a indutância.
  • A tensão no capacitor é v_C = \dfrac{q}{C}. Aqui q(t) é a carga no capacitor e C é a capacitância.
  • Como i=\dfrac{dq}{dt}, substituímos i por derivada de q.
  • Portanto a equação de movimento do circuito é
L\,\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0.
Expliquei cada termo: L\,d^2q/dt^2 vem da resposta do indutor à variação de corrente; \dfrac{q}{C} é a tensão elétrica associada à carga q.

Passo 3

Escrever a equação do problema massa-mola (passo-a-passo).
  • Para a massa m presa a uma mola com constante k sem atrito, a segunda lei de Newton dá m a = -k x, porque a força elástica é F=-k x.
  • Com a=d^2x/dt^2 obtemos a equação
m\,\frac{d^2 x}{dt^2} + k\,x = 0.
Expliquei: m\,d^2x/dt^2 é a inércia (força necessária para acelerar a massa) e k x é a força restauradora da mola.

Passo 4

Comparar as duas equações para extrair a analogia.
  • A equação elétrica é L\,\dfrac{d^2 q}{dt^2} + \dfrac{q}{C} = 0.
  • A equação mecânica é m\,\dfrac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0.
  • Igualando as formas observamos as correspondências entre os termos análogos:
    • A variável dinâmica elétrica q(t) (carga) corresponde à posição mecânica x(t): q \longleftrightarrow x.
    • A derivada i=\dfrac{dq}{dt} (corrente) corresponde à velocidade v=\dfrac{dx}{dt}: i \longleftrightarrow v.
    • O coeficiente da segunda derivada L corresponde à massa m: L \longleftrightarrow m. Intuição: L dá “inércia elétrica” à corrente, assim como m dá inércia à massa.
    • O termo multiplicando q (a “constante” restauradora elétrica) é \dfrac{1}{C}, que corresponde à constante elástica k: \dfrac{1}{C} \longleftrightarrow k. Portanto, C é análogo à compliance (inverso da rigidez): C \longleftrightarrow \dfrac{1}{k}.
  • Em resumo e de forma direta: q \leftrightarrow x,\qquad i=\frac{dq}{dt} \leftrightarrow v=\frac{dx}{dt},\qquad L \leftrightarrow m,\qquad \frac{1}{C}\leftrightarrow k\\ \\ (\text{ou } C\leftrightarrow 1/k).
Expliquei a física: indutor armazena energia na corrente (análogo à energia cinética da massa); capacitor armazena energia na diferença de potencial (análogo à energia elástica da mola).

Passo 5

Determinar as soluções harmônicas e frequência angular com a analogia.
  • A solução típica para q(t) é harmônica: suponha q(t)=Q\cos(\omega t+\varphi). Então i(t)=dq/dt=-Q\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Substituindo na equação L\,d^2q/dt^2 + q/C =0 obtemos a relação para \omega:
-L\,\omega^2 Q\cos(\omega t+\varphi) + \frac{Q\cos(\omega t+\varphi)}{C}=0,
que reduz a
\omega^2 = \frac{1}{L C}.
  • Pela analogia mecânica, para m\,d^2x/dt^2 + k x =0 temos \omega^2 = \dfrac{k}{m}. As duas fórmulas são plenamente compatíveis com as correspondências L\leftrightarrow m e 1/C\leftrightarrow k.

Passo 6

Energia no circuito e na mola — fórmulas e correspondência.
  • Energia armazenada no capacitor é
U_C = \frac{q^2}{2C}.
Explicação: partindo da expressão usual U_C=\tfrac12 C V^2 e usando V=q/C obtém-se U_C=q^2/(2C).
  • Energia armazenada no indutor é
U_L = \frac{1}{2} L i^2.
Explicação: análogo à energia cinética, depende do quadrado da corrente.
  • Na analogia mecânica:
    • Energia potencial na mola: U_{\text{mola}}=\dfrac{1}{2} k x^2.
    • Energia cinética da massa: K=\dfrac{1}{2} m v^2.
  • Com as soluções harmônicas q(t)=Q\cos(\omega t+\varphi) e i(t)=-Q\omega\sin(\omega t+\varphi), calculemos as energias temporais:
    • Substituindo em U_C:
    U_C(t)=\frac{Q^2}{2C}\cos^2(\omega t+\varphi).
    • Substituindo em U_L e usando \omega^2=\dfrac{1}{LC}:
    U_L(t)=\frac{1}{2}L\big(Q\omega\sin(\omega t+\varphi)\big)^2 =\frac{Q^2}{2C}\sin^2(\omega t+\varphi).
  • Observação importante: pelo cálculo, notamos que
U_C(t)+U_L(t)=\frac{Q^2}{2C}\big(\cos^2(\cdot)+\sin^2(\cdot)\big)=\frac{Q^2}{2C}=\text{constante},
ou seja, a energia total é conservada (não há dissipação no circuito ideal), e energia oscila entre capacitor e indutor.

Passo 7

Descrever explicitamente a transferência de energia no tempo (ligando à intuição mecânica).
  • Momentos em que a energia está predominantemente no capacitor:
    • Quando \cos(\omega t+\varphi)=\pm 1 e \sin(\omega t+\varphi)=0. Nesses instantes q=\pm Q (carga máxima) e i=0 (corrente nula). Então U_C é máxima e U_L=0. Interpretando mecanicamente: isso corresponde ao ponto de amplitude máxima x=\pm X da massa, onde a velocidade é zero e a energia é toda potencial elástica.
  • Momentos em que a energia está predominantemente no indutor:
    • Quando \cos(\omega t+\varphi)=0 e \sin(\omega t+\varphi)=\pm 1. Nesses instantes q=0 e i=\mp Q\omega (corrente máxima). Então U_L é máxima e U_C=0. Interpretando mecanicamente: corresponde ao ponto de passagem pela posição de equilíbrio x=0 com velocidade máxima, energia toda cinética.
  • Em palavras simples: a energia vai “pingando” de um reservatório para o outro — do capacitor (campo elétrico) para o indutor (campo magnético) e de volta — com defasagem de 90^\circ entre carga e corrente. Isso é exatamente como a troca entre energia potencial da mola e energia cinética da massa.

Passo 8

Responder o item (c) calculando o efeito de C\to 4C sobre \omega e justificar pela analogia.
  • Fórmula da frequência angular do LC é
\omega = \frac{1}{\sqrt{L C}}.
  • Se C for quadruplicada para C' = 4C, então
\omega'=\frac{1}{\sqrt{L C'}}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot 4C}}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{\omega}{2}.
Logo a nova frequência angular vale metade da original.
  • Justificativa pela analogia com massa-mola:
    • Como vimos, 1/C é análogo a k. Quadruplicar C é o mesmo que dividir k por 4 (porque k\leftrightarrow 1/C). Na mola, se k\to k/4 então \omega=\sqrt{k/m} passa a \omega'=\sqrt{(k/4)/m}=\omega/2. Portanto a redução de \omega por fator 2 está de acordo com a analogia.
  • Intuição física direta elétrica: um capacitor maior armazena mais carga por mesma tensão, então o sistema demora mais para trocar energia entre capacitor e indutor — a oscilação fica mais lenta.

Resposta

(a) q \leftrightarrow x, i=\dfrac{dq}{dt}\leftrightarrow v=\dfrac{dx}{dt}, L \leftrightarrow m, \dfrac{1}{C}\leftrightarrow k (ou seja, C\leftrightarrow 1/k).\n
(b) A energia oscila entre U_C=\dfrac{q^2}{2C} (capacitor) e U_L=\dfrac{1}{2}L i^2 (indutor). Em instantes em que q=\pm Q e i=0 a energia está predominantemente no capacitor; em instantes em que q=0 e i=\pm I_{\max} a energia está predominantemente no indutor. A energia total é conservada e há troca periódica com defasagem de 90^\circ entre q e i.\n
(c) Se C for substituído por 4C, a frequência angular fica \omega'=\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot 4C}}=\dfrac{\omega}{2}; ou seja, a \omega é reduzida pela metade.

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