Problema 1.
Considere um circuito LC ideal (sem resistência) oscilando livremente.
a. Descreva detalhadamente a analogia entre este sistema e um sistema massa-mola horizontal ideal (sem atrito). Especifique claramente quais grandezas elétricas (Carga
, Corrente
, Indutância
, Capacitância
) correspondem às grandezas mecânicas (Posição
, Velocidade
, Massa
, Constante elástica
).
b. Discorra sobre a transferência de energia durante um ciclo completo de oscilação. Em que momentos a energia está armazenada predominantemente no campo elétrico do capacitor? Em que momentos está predominantemente no campo magnético do indutor?
c. Se a capacitância
for quadruplicada (
), o que acontece com a frequência angular (
) de oscilação? Justifique sua resposta usando a analogia do item (a).
a. Descreva detalhadamente a analogia entre este sistema e um sistema massa-mola horizontal ideal (sem atrito). Especifique claramente quais grandezas elétricas (Carga
b. Discorra sobre a transferência de energia durante um ciclo completo de oscilação. Em que momentos a energia está armazenada predominantemente no campo elétrico do capacitor? Em que momentos está predominantemente no campo magnético do indutor?
c. Se a capacitância
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e dá que o circuito é um LC ideal (sem resistência) com grandezas elétricas
,
,
,
.
- (a) Fazer a analogia detalhada entre o circuito LC e um sistema massa-mola horizontal ideal (sem atrito): identificar claramente as correspondências entre
, , , e , , , . - (b) Descrever a transferência de energia durante um ciclo de oscilação: em que instantes a energia está predominantemente no campo elétrico do capacitor e em que instantes está no campo magnético do indutor.
- (c) Se a capacitância
for quadruplicada ( ), dizer o que acontece com a frequência angular e justificar usando a analogia do item (a).
As informações relevantes: circuito LC ideal sem perdas; variáveis elétricas
(carga no capacitor),
(corrente no circuito), e parâmetros
e
. Não há resistência nem forças dissipativas.
Passo 2
Escrever a equação do circuito LC (passo-a-passo).
- Kirchhoff para a malha LC dá que a soma das quedas de tensão é zero: tensão no indutor
mais tensão no capacitor é zero. - A tensão no indutor é
. Aqui é a corrente; é a indutância. - A tensão no capacitor é
. Aqui é a carga no capacitor e é a capacitância. - Como
, substituímos por derivada de . - Portanto a equação de movimento do circuito é
Expliquei cada termo:
vem da resposta do indutor à variação de corrente;
é a tensão elétrica associada à carga
.
Passo 3
Escrever a equação do problema massa-mola (passo-a-passo).
- Para a massa
presa a uma mola com constante sem atrito, a segunda lei de Newton dá , porque a força elástica é . - Com
obtemos a equação
Expliquei:
é a inércia (força necessária para acelerar a massa) e
é a força restauradora da mola.
Passo 4
Comparar as duas equações para extrair a analogia.
- A equação elétrica é
. - A equação mecânica é
. - Igualando as formas observamos as correspondências entre os termos análogos:
- A variável dinâmica elétrica
(carga) corresponde à posição mecânica : . - A derivada
(corrente) corresponde à velocidade : . - O coeficiente da segunda derivada
corresponde à massa : . Intuição: dá “inércia elétrica” à corrente, assim como dá inércia à massa. - O termo multiplicando
(a “constante” restauradora elétrica) é , que corresponde à constante elástica : . Portanto, é análogo à compliance (inverso da rigidez): .
- A variável dinâmica elétrica
- Em resumo e de forma direta:
Expliquei a física: indutor armazena energia na corrente (análogo à energia cinética da massa); capacitor armazena energia na diferença de potencial (análogo à energia elástica da mola).
Passo 5
Determinar as soluções harmônicas e frequência angular com a analogia.
- A solução típica para
é harmônica: suponha . Então . - Substituindo na equação
obtemos a relação para :
que reduz a
- Pela analogia mecânica, para
temos . As duas fórmulas são plenamente compatíveis com as correspondências e .
Passo 6
Energia no circuito e na mola — fórmulas e correspondência.
- Energia armazenada no capacitor é
Explicação: partindo da expressão usual
e usando
obtém-se
.
- Energia armazenada no indutor é
Explicação: análogo à energia cinética, depende do quadrado da corrente.
- Na analogia mecânica:
- Energia potencial na mola:
. - Energia cinética da massa:
.
- Energia potencial na mola:
- Com as soluções harmônicas
e , calculemos as energias temporais: - Substituindo em
:
- Substituindo em
e usando :
- Substituindo em
- Observação importante: pelo cálculo, notamos que
ou seja, a energia total é conservada (não há dissipação no circuito ideal), e energia oscila entre capacitor e indutor.
Passo 7
Descrever explicitamente a transferência de energia no tempo (ligando à intuição mecânica).
- Momentos em que a energia está predominantemente no capacitor:
- Quando
e . Nesses instantes (carga máxima) e (corrente nula). Então é máxima e . Interpretando mecanicamente: isso corresponde ao ponto de amplitude máxima da massa, onde a velocidade é zero e a energia é toda potencial elástica.
- Quando
- Momentos em que a energia está predominantemente no indutor:
- Quando
e . Nesses instantes e (corrente máxima). Então é máxima e . Interpretando mecanicamente: corresponde ao ponto de passagem pela posição de equilíbrio com velocidade máxima, energia toda cinética.
- Quando
- Em palavras simples: a energia vai “pingando” de um reservatório para o outro — do capacitor (campo elétrico) para o indutor (campo magnético) e de volta — com defasagem de
entre carga e corrente. Isso é exatamente como a troca entre energia potencial da mola e energia cinética da massa.
Passo 8
Responder o item (c) calculando o efeito de
sobre
e justificar pela analogia.
- Fórmula da frequência angular do LC é
- Se
for quadruplicada para , então
Logo a nova frequência angular vale metade da original.
- Justificativa pela analogia com massa-mola:
- Como vimos,
é análogo a . Quadruplicar é o mesmo que dividir por (porque ). Na mola, se então passa a . Portanto a redução de por fator está de acordo com a analogia.
- Como vimos,
- Intuição física direta elétrica: um capacitor maior armazena mais carga por mesma tensão, então o sistema demora mais para trocar energia entre capacitor e indutor — a oscilação fica mais lenta.
Resposta
(a)
,
,
,
(ou seja,
).\n
(b) A energia oscila entre (capacitor) e
(indutor). Em instantes em que
e
a energia está predominantemente no capacitor; em instantes em que
e
a energia está predominantemente no indutor. A energia total é conservada e há troca periódica com defasagem de
entre
e
.\n
(c) Se for substituído por
, a frequência angular fica
; ou seja, a
é reduzida pela metade.
(b) A energia oscila entre
(c) Se