Invalidação de Bombeamento (operando com uma dada Vazão).
  • Desnível (Entre as superfícies Livres do Reservatório - Abastecimento) = 10ft
    D = 6 in, L = 200 ft. Fator de Atrito = 0,02.
    Perdas Singulares: Km = 0,5, Kc = 1,5, Kr = 1,0
    Curva da Bomba: hp = 88 - 8,3984 * 10^{-5} Q^{2} (h/ft), Q (gpm)
    Calcular:
    a) A curva do sistema hs (h(ft), Q (gpm)), (b) o ponto de operação (h’(ft), Q’(gpm)).
  • 1 ft = 12 in, g = 32,2 ft * s^{-2}, 1 cps = 449 gpm.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Desnível estático entre superfícies: \,10\\ \text{ft}.
  • Diâmetro da tubulação: \,D=6\\ \text{in}.
  • Comprimento da tubulação: \,L=200\\ \text{ft}.
  • Fator de atrito (f): \,0{,}02.
  • Perdas singulares (coeficientes): \,K_m=0{,}5,\\ K_c=1{,}5,\\ K_r=1{,}0.
  • Curva da bomba (altura fornecida pela bomba em função da vazão): h_p(Q)=88 - 8{,}3984\times10^{-5}\,Q^{2}\quad(\text{ft}),\quad Q\\ \text{em gpm}.
  • Conversões e constantes: \,1\\ \text{ft}=12\\ \text{in},\\ g=32{,}2\\ \text{ft}\cdot\text{s}^{-2},\\\ 1\\ \text{cfs}=449\\ \text{gpm}.
O enunciado pede:
(a) determinar a curva do sistema \,h_s(Q) em função de \,Q (unidades: \,\text{ft} e \,\text{gpm});
(b) encontrar o ponto de operação \,(h',Q') onde \,h_p(Q')=h_s(Q').

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Curva do sistema: a altura total que a bomba precisa vencer para uma vazão \,Q é a soma do desnível estático e das perdas por atrito e singulares:
h_s(Q)=h_{\text{estático}} + h_{\text{perdas}}.á
  1. Perdas por atrito (Darcy–Weisbach): para fluxo em tubulação
h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g},
onde
  • \,f é o fator de atrito (adimensional),
  • \,L e \,D são comprimento e diâmetro (unidades: \,\text{ft}),
  • \,v é a velocidade média do fluido ( \,\text{ft}\!/\!\text{s}),
  • \,g é a gravidade.
  1. Perdas singulares (junções, entradas, curvas etc.): somam-se com coeficiente total K_{\text{tot}}=\sum K e dão
h_{\text{sing}} = K_{\text{tot}}\frac{v^{2}}{2g}.
  1. Portanto as perdas totais em função da velocidade:
h_{\text{perdas}}=\left(f\frac{L}{D}+K_{\text{tot}}\right)\frac{v^{2}}{2g}.
Aqui cada termo dentro do parêntese é adimensional; multiplicando por \,v^{2}/(2g) obtém-se altura em \,\text{ft}.
  1. Relação entre vazão volumétrica \,Q (em \,\text{gpm}) e velocidade \,v:
  • primeiro converter \,Q para \,\text{cfs} (cubic feet per second) usando \,1\\ \text{cfs}=449\\ \text{gpm}:
Q_{\text{cfs}}=\frac{Q_{\text{gpm}}}{449}.
  • área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • velocidade:
v=\frac{Q_{\text{cfs}}}{A}=\frac{Q}{449\,A}.
  1. Substituindo \,v na expressão de perdas obtemos perdas proporcionais a \,Q^{2}. Assim a curva do sistema terá a forma
h_s(Q)=h_{\text{estático}} + C\,Q^{2},á
onde o coeficiente \,C será calculado com as constantes do problema e com as conversões indicadas.

Passo 3

Converter unidades e calcular área da tubulação.
  1. Converter \,D para pés:
D=6\\ \text{in}=\frac{6}{12}\\ \text{ft}=0{,}5\\ \text{ft}.
  1. Área da seção:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}5)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0625=0{,}0625\pi\\ \text{ft}^{2}.
Numericamente:
A\approx 0{,}1963495408\\ \text{ft}^{2}.

Passo 4

Expressar \,v^{2}/(2g) em função de \,Q^{2}.
  1. Velocidade:
v=\frac{Q_{\text{cfs}}}{A}=\frac{Q/449}{A}=\frac{Q}{449\,A}.
  1. Quadrado da velocidade dividido por 2g:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{449\,A}\right)^{2} = \frac{Q^{2}}{2g\;449^{2}\;A^{2}}.
Essa expressão tem unidades de \,\text{ft} quando Q está em \,\text{gpm}, porque usamos a conversão 449\\ \text{gpm}=1\\ \text{cfs}.

Passo 5

Calcular o coeficiente adimensional que multiplica \,v^{2}/(2g).
  1. Soma das perdas singulares:
K_{\text{tot}}=K_m+K_c+K_r=0{,}5+1{,}5+1{,}0=3{,}0.
  1. Soma global no parêntese da fórmula de perdas:
S=f\frac{L}{D}+K_{\text{tot}}.
Substituindo valores:
f\frac{L}{D}=0{,}02\cdot\frac{200}{0{,}5}=0{,}02\cdot400=8{,}0.
Logo
S=8{,}0+3{,}0=11{,}0.

Passo 6

Montar a expressão final para h_s(Q) e calcular o coeficiente numérico.
  1. Perdas totais:
h_{\text{perdas}}=S\frac{v^{2}}{2g} = S\frac{Q^{2}}{2g\;449^{2}\;A^{2}}.
  1. Assim a curva do sistema é
h_s(Q)=10 + \underbrace{\frac{S}{2g\;449^{2}\;A^{2}}}_{\displaystyle C}\;Q^{2}.
  1. Calcular numericamente C. Usando os valores:
S=11{,}0,\quad 2g=64{,}4,\quad 449^{2}=201{,}601,\quad A\approx0{,}1963495408,
A^{2}\approx0{,}038584\\ (\text{aprox.}).
Calculando o denominador:
2g\;449^{2}\;A^{2}\approx 64{,}4\cdot201{,}601\cdot0{,}038584\approx 500{,}621\\ (\text{aprox.}).
Logo
C=\frac{11{,}0}{500{,}621}\approx 2{,}198\times10^{-5}.
  1. Portanto a curva do sistema, com Q em \,\text{gpm} e h_s em \,\text{ft}, fica
\boxed{\,h_s(Q)=10 + 2{,}198\times10^{-5}\;Q^{2}\, }.
(Nota: os coeficientes foram arredondados de forma consistente — a forma correta é quadrática em Q com esse coeficiente.)

Passo 7

Encontrar o ponto de operação resolvendo h_p(Q)=h_s(Q).
  1. Igualar curvas:
88 - 8{,}3984\times10^{-5}\,Q^{2} = 10 + 2{,}198\times10^{-5}\,Q^{2}.
  1. Agrupar termos:
88-10 = \left(8{,}3984\times10^{-5}+2{,}198\times10^{-5}\right)Q^{2}.
78 = 1{,}05964\times10^{-4}\;Q^{2}.
  1. Resolver para Q^{2} e depois Q:
Q^{2}=\frac{78}{1{,}05964\times10^{-4}}\approx 7{,}36\times10^{5}.
Q=\sqrt{7{,}36\times10^{5}}\approx 8{,}58\times10^{2}\\ \text{gpm}.
Ou seja,
Q'\approx 858\\ \text{gpm}.
  1. Calcular a cabeça de operação h' usando a curva da bomba (ou a do sistema):
h'=88 - 8{,}3984\times10^{-5}\,(858)^{2}.
Cálculo aproximado:
(858)^{2}\approx 736{,}164,
8{,}3984\times10^{-5}\cdot736{,}164\approx 61{,}8,
h'\approx 88 - 61{,}8 \approx 26{,}2\\ \text{ft}.
Verificação rápida com a curva do sistema:
h_s(858)=10 + 2{,}198\times10^{-5}\cdot736{,}164\approx 10 + 16{,}2\approx 26{,}2\\ \text{ft},
coincidindo (diferenças por arredondamento pequeno).

Passo 8

Interpretação final e arredondamentos práticos.
  • O ponto de operação é único (interseção de duas parábolas) e é fisicamente o fluxo positivo encontrado.
  • Valores finais arredondados a três algarismos significativos: \,Q'\approx858\\ \text{gpm} e \,h'\approx26{,}2\\ \text{ft}.

Resposta

h_s(Q)=10 + 2{,}198\times10^{-5}\;Q^{2}\\ (\text{ft},\\ Q\\ \text{em gpm})
Q'\approx858\\ \text{gpm},\quad h'\approx26{,}2\\ \text{ft}

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