( \mathbf{2 , 5} pontos ) Deduza as equações da continuidade e de Navier-Stokes para escoamento turbulento.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir as equações da continuidade e de Navier–Stokes para escoamento turbulento. Ou seja, partir das equações instantâneas (determinísticas) de um fluido newtoniano e obter as equações para as médias (as equações geralmente usadas em dinâmica de turbulência: as equações de Reynolds, ou RANS), mostrando de onde surge o termo de Reynolds (o tensor de tensões turbulentas) e explicando as hipóteses necessárias.
Informações e hipóteses adotadas (essas são usuais e vou usá‑las explicitamente para poder derivar):
O fluido é newtoniano, de densidade \rho constante (escoamento incompressível) e viscosidade dinâmica constante \mu.
As quantidades instantâneas (velocidade, pressão) são decompostas em média + flutuação (Reynolds decomposition).
A operação de média que usamos satisfaz as regras usuais de média de Reynolds (linearidade, média da flutuação é zero, média e derivada comutam sob hipóteses razoáveis de estacionariedade / suavidade).
O objetivo final é escrever a equação de continuidade média e a equação média de quantidade de movimento (RANS), identificar o termo de Reynolds e comentar brevemente o problema de fechamento e uma hipótese de modelagem (Boussinesq).
Passo 2
Começo escrevendo as equações instantâneas (não médias). Para escoamento incompressível e newtoniano, a equação de continuidade instantânea é
\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0,
onde u_i(\mathbf{x},t) é a componente i-ésima da velocidade instantânea e a soma sobre i é pelo convênio de Einstein.
A equação de Navier–Stokes instantânea (forma de conservação da quantidade de movimento) é
onde p(\mathbf{x},t) é a pressão instantânea e f_i é a componente do termo volumétrico externo (por ex. gravidade). Aqui \mu é viscosidade dinâmica e \rho a densidade.
Comentário didático rápido: a notação u_j\partial u_i/\partial x_j é o termo convectivo (não linear) que gera a dificuldade na turbulência, pois quando fizermos médias ele produzirá termos novos ligados às flutuações.
Passo 3
Aplico a decomposição de Reynolds (Reynolds decomposition). Para qualquer quantidade escalar ou componente de velocidade:
onde \overline{\cdot} indica a média (pode ser média temporal, média ensemble, ou média espacial apropriada) e a primada indica a flutuação em torno da média. Pela definição de média:
Constante sai da média: \overline{c\,a} = c\,\overline{a} para c constante.
Média da derivada: assumimos que a média comuta com derivada espacial e temporal quando apropriado: \overline{\partial a/\partial x_j} = \partial \overline{a}/\partial x_j, idem para \partial/\partial t.
Para o termo convectivo, uso que \overline{u_j u_i} = \overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i} (os termos mistos \overline{\overline{u_j} u'_i} e similares são zero). Logo:
Aqui aparece explicitamente o termo com as flutuações: -\rho\partial \overline{u'_i u'_j}/\partial x_j. Esse termo modifica a equação média exatamente porque a média do produto não é produto das médias; é o efeito dinâmico da turbulência que transporta momento extra.
Passo 7
Definição e interpretação do termo turbulento (tensor de Reynolds). Define-se o tensor de Reynolds (por componente)
R_{ij} \equiv \rho\,\overline{u'_i u'_j}.
Com essa convenção, o termo extra na equação média aparece como -\partial R_{ij}/\partial x_j. Muitas formulações usam a tensão turbulenta com sinal oposto, então é comum ver:
de modo que o termo adicional seja \partial \tau_{ij}^{(R)}/\partial x_j. Ambas as notações são usadas; o importante é ficar consistente com o sinal. Em palavras: as flutuações adicionam uma “tensão” média que atua como uma fonte de transporte de momento.
Comentário didático: essa é a equação de Reynolds-averaged Navier–Stokes (RANS). Note que se as flutuações fossem nulas (u'_i=0), a equação volta para as NS instantâneas em termos de médias (não turbulentas).
Passo 8
Problema de fechamento e hipótese de Boussinesq. Observação crucial: a equação média contém as incógnitas \overline{u_i} e também os termos de correlação de flutuação \overline{u'_i u'_j} (ou R_{ij}). Isso cria o chamado problema de fechamento: há mais incógnitas do que equações. Para fechar o sistema é necessário modelar R_{ij}.
Uma hipótese comum (hipótese de Boussinesq) modela o tensor de Reynolds por um análogo newtoniano (introduz uma viscosidade turbulenta \mu_t):
e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. A forma -\tfrac{2}{3}\rho k \delta_{ij} aparece para representar a pressão turbulenta isotrópica associada às flutuações. A quantidade \mu_t (viscosidade turbulenta ou viscosidade de turbulência) precisa ser modelada — por exemplo usando modelos de mistura, ou modelos de transporte como k-\varepsilon, k-\omega, etc.
Substituindo essa hipótese na equação média de momento obtém‑se uma equação em que o efeito da turbulência é represente por uma viscosidade efetiva \mu+\mu_t mais um termo isotrópico -\tfrac{2}{3}\rho k\delta_{ij} incorporado na pressão:
Em termos práticos, muitas formulações definem a pressão modificada \overline{p}^* = \overline{p} + \tfrac{2}{3}\rho k, e a equação média torna-se (aproximação de Boussinesq)
Resumo das etapas físicas e dicas para prova (didática e motivacional):
Passo-chave: a não linearidade do termo convectivo é a origem do termo de Reynolds após média: \overline{u_j u_i} = \overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i}.
A equação de continuidade média permanece \partial \overline{u_i}/\partial x_i = 0 para fluido incompressível.
A equação média de momento (RANS) contém o tensor de Reynolds \rho\overline{u'_i u'_j}, que representa transporte de momento pela turbulência.
Fechamento: sempre que aparecer \overline{u'_i u'_j} na prova, lembre‑se de mencionar o problema de fechamento e a hipótese de Boussinesq se for pedir uma modelagem simples.
Anote as formas finais limpamente na sua folha de prova: continuidade média e RANS com o termo de Reynolds explícito; se for pedido, apresente também a hipótese de Boussinesq e a definição de k.