( \mathbf{2 , 5} pontos ) Deduza as equações da continuidade e de Navier-Stokes para escoamento turbulento.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir as equações da continuidade e de Navier–Stokes para escoamento turbulento. Ou seja, partir das equações instantâneas (determinísticas) de um fluido newtoniano e obter as equações para as médias (as equações geralmente usadas em dinâmica de turbulência: as equações de Reynolds, ou RANS), mostrando de onde surge o termo de Reynolds (o tensor de tensões turbulentas) e explicando as hipóteses necessárias.
Informações e hipóteses adotadas (essas são usuais e vou usá‑las explicitamente para poder derivar):
  • O fluido é newtoniano, de densidade \rho constante (escoamento incompressível) e viscosidade dinâmica constante \mu.
  • As quantidades instantâneas (velocidade, pressão) são decompostas em média + flutuação (Reynolds decomposition).
  • A operação de média que usamos satisfaz as regras usuais de média de Reynolds (linearidade, média da flutuação é zero, média e derivada comutam sob hipóteses razoáveis de estacionariedade / suavidade).
  • O objetivo final é escrever a equação de continuidade média e a equação média de quantidade de movimento (RANS), identificar o termo de Reynolds e comentar brevemente o problema de fechamento e uma hipótese de modelagem (Boussinesq).

Passo 2

Começo escrevendo as equações instantâneas (não médias). Para escoamento incompressível e newtoniano, a equação de continuidade instantânea é
\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0,
onde u_i(\mathbf{x},t) é a componente i-ésima da velocidade instantânea e a soma sobre i é pelo convênio de Einstein.
A equação de Navier–Stokes instantânea (forma de conservação da quantidade de movimento) é
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j\partial x_j} + \rho f_i,
onde p(\mathbf{x},t) é a pressão instantânea e f_i é a componente do termo volumétrico externo (por ex. gravidade). Aqui \mu é viscosidade dinâmica e \rho a densidade.
Comentário didático rápido: a notação u_j\partial u_i/\partial x_j é o termo convectivo (não linear) que gera a dificuldade na turbulência, pois quando fizermos médias ele produzirá termos novos ligados às flutuações.

Passo 3

Aplico a decomposição de Reynolds (Reynolds decomposition). Para qualquer quantidade escalar ou componente de velocidade:
u_i(\mathbf{x},t) = \overline{u_i}(\mathbf{x},t) + u'_i(\mathbf{x},t), \qquad p(\mathbf{x},t) = \overline{p}(\mathbf{x},t) + p'(\mathbf{x},t),
onde \overline{\cdot} indica a média (pode ser média temporal, média ensemble, ou média espacial apropriada) e a primada indica a flutuação em torno da média. Pela definição de média:
\overline{u'_i}=0,\qquad \overline{p'}=0.
Regras úteis da média de Reynolds que vou usar:
  • Linearidade: \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}.
  • Constante sai da média: \overline{c\,a} = c\,\overline{a} para c constante.
  • Média da derivada: assumimos que a média comuta com derivada espacial e temporal quando apropriado: \overline{\partial a/\partial x_j} = \partial \overline{a}/\partial x_j, idem para \partial/\partial t.
  • Produto: \overline{ab} = \overline{a}\,\overline{b} + \overline{a'b'}.
Vou aplicar essas regras às equações instantâneas.

Passo 4

Averaging da equação de continuidade instantânea. Parto de
\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0.
Substituo u_i = \overline{u_i}+u'_i e aplico a média:
\overline{\frac{\partial u_i}{\partial x_i}} = \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i} + \frac{\partial \overline{u'_i}}{\partial x_i} = 0.
Como \overline{u'_i}=0, resulta
\boxed{\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i}=0.}
Interpretação: a velocidade média satisfaz a continuidade incompressível; as flutuações não introduzem divergência média se a densidade é constante.

Passo 5

Agora faço a média da equação de Navier–Stokes. Começo reescrevendo a forma convectiva em divergência para facilitar a média:
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + \frac{\partial (u_j u_i)}{\partial x_j}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j\partial x_j} + \rho f_i.
Aplico a média a cada termo. Para o termo temporal:
\overline{\rho\frac{\partial u_i}{\partial t}} = \rho\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t}.
Para o termo convectivo, uso que \overline{u_j u_i} = \overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i} (os termos mistos \overline{\overline{u_j} u'_i} e similares são zero). Logo:
\overline{\frac{\partial (u_j u_i)}{\partial x_j}} = \frac{\partial}{\partial x_j}\overline{u_j u_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\!\big(\overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i}\big).
Para os termos de pressão e viscosidade, a média passa direto:
\overline{\frac{\partial p}{\partial x_i}} = \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i}, \qquad \overline{\mu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j\partial x_j}} = \mu\frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j},
pois \mu é constante e a média comuta com derivadas.
Reunindo tudo, a média da equação de quantidade de movimento dá:
\rho\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_j}\big(\overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i}\big)\right) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j} + \rho \overline{f_i}.

Passo 6

Faço pequenas manipulações para obter a forma convectiva familiar. Usando a continuidade média \partial \overline{u_j}/\partial x_j = 0, temos
\frac{\partial}{\partial x_j}\big(\overline{u_j}\,\overline{u_i}\big) = \overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}.
Portanto podemos escrever a equação média como
\rho\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\right) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j} - \rho\frac{\partial \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j} + \rho \overline{f_i}.
Aqui aparece explicitamente o termo com as flutuações: -\rho\partial \overline{u'_i u'_j}/\partial x_j. Esse termo modifica a equação média exatamente porque a média do produto não é produto das médias; é o efeito dinâmico da turbulência que transporta momento extra.

Passo 7

Definição e interpretação do termo turbulento (tensor de Reynolds). Define-se o tensor de Reynolds (por componente)
R_{ij} \equiv \rho\,\overline{u'_i u'_j}.
Com essa convenção, o termo extra na equação média aparece como -\partial R_{ij}/\partial x_j. Muitas formulações usam a tensão turbulenta com sinal oposto, então é comum ver:
\tau_{ij}^{(R)} \equiv -\rho\,\overline{u'_i u'_j},
de modo que o termo adicional seja \partial \tau_{ij}^{(R)}/\partial x_j. Ambas as notações são usadas; o importante é ficar consistente com o sinal. Em palavras: as flutuações adicionam uma “tensão” média que atua como uma fonte de transporte de momento.
Reescrevendo a equação média de momento compacta:
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\right) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j} - \frac{\partial}{\partial x_j}\big(\rho\,\overline{u'_i u'_j}\big) + \rho\overline{f_i}.}
Comentário didático: essa é a equação de Reynolds-averaged Navier–Stokes (RANS). Note que se as flutuações fossem nulas ( u'_i=0), a equação volta para as NS instantâneas em termos de médias (não turbulentas).

Passo 8

Problema de fechamento e hipótese de Boussinesq. Observação crucial: a equação média contém as incógnitas \overline{u_i} e também os termos de correlação de flutuação \overline{u'_i u'_j} (ou R_{ij}). Isso cria o chamado problema de fechamento: há mais incógnitas do que equações. Para fechar o sistema é necessário modelar R_{ij}.
Uma hipótese comum (hipótese de Boussinesq) modela o tensor de Reynolds por um análogo newtoniano (introduz uma viscosidade turbulenta \mu_t):
-\rho\,\overline{u'_i u'_j} \approx \mu_t\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i}\right) - \tfrac{2}{3}\rho k\,\delta_{ij},
onde k é a energia cinética turbulenta média,
k \equiv \tfrac{1}{2}\overline{u'_k u'_k},
e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. A forma -\tfrac{2}{3}\rho k \delta_{ij} aparece para representar a pressão turbulenta isotrópica associada às flutuações. A quantidade \mu_t (viscosidade turbulenta ou viscosidade de turbulência) precisa ser modelada — por exemplo usando modelos de mistura, ou modelos de transporte como k- \varepsilon, k- \omega, etc.
Substituindo essa hipótese na equação média de momento obtém‑se uma equação em que o efeito da turbulência é represente por uma viscosidade efetiva \mu+\mu_t mais um termo isotrópico -\tfrac{2}{3}\rho k\delta_{ij} incorporado na pressão:
Em termos práticos, muitas formulações definem a pressão modificada \overline{p}^* = \overline{p} + \tfrac{2}{3}\rho k, e a equação média torna-se (aproximação de Boussinesq)
\rho\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\right) = -\frac{\partial \overline{p}^*}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}\Big[(\mu+\mu_t)\left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i}\right)\Big] + \rho\overline{f_i}.

Passo 9

Resumo das etapas físicas e dicas para prova (didática e motivacional):
  • Passo-chave: a não linearidade do termo convectivo é a origem do termo de Reynolds após média: \overline{u_j u_i} = \overline{u_j}\,\overline{u_i} + \overline{u'_j u'_i}.
  • A equação de continuidade média permanece \partial \overline{u_i}/\partial x_i = 0 para fluido incompressível.
  • A equação média de momento (RANS) contém o tensor de Reynolds \rho\overline{u'_i u'_j}, que representa transporte de momento pela turbulência.
  • Fechamento: sempre que aparecer \overline{u'_i u'_j} na prova, lembre‑se de mencionar o problema de fechamento e a hipótese de Boussinesq se for pedir uma modelagem simples.
  • Anote as formas finais limpamente na sua folha de prova: continuidade média e RANS com o termo de Reynolds explícito; se for pedido, apresente também a hipótese de Boussinesq e a definição de k.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i}=0
\displaystyle \rho\Big(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t}+\overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\Big) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j} - \frac{\partial}{\partial x_j}\big(\rho\,\overline{u'_i u'_j}\big) + \rho\overline{f_i}

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