Uma placa plana, com as seguintes medidas: 1 \mathrm{~m} \times 0,5 \mathrm{~m} \times 0,01 \mathrm{~m}(\mathrm{C} \times \mathrm{L} \times \mathrm{E}) é mantida a uma temperatura uniforme de 150^{\circ} \mathrm{C} por uma resistência elétrica. Ar atmosférico, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} escoa sobre a superfície superior da placa (a superfície inferior é isolada termicamente) Determine a taxa de geração de energia necessária para que a placa se mantenha com a superfície isotérmica. Observação: Para todas as questões, considere R e_{C}=5 \times 10^{5}. Demais dados devem ser consultadas nas tabelas A.4, A. 5 e A. 6 (Incropera)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar TUDO que temos, com os números pegados do enunciado):
  • Dimensões da placa (Comprimento \times Largura \times Espessura): \;1\\ \mathrm{m}\times0{,}5\\ \mathrm{m}\times0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • A placa é mantida isotérmica pela resistência elétrica à temperatura da superfície: \;T_s=150^\circ\mathrm{C}.
  • O ar atmosférico externo tem temperatura livre: \;T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do ar sobre a superfície superior: \;U_\infty=30\\ \mathrm{m/s}.
  • A superfície inferior está isolada termicamente (logo sem perda por baixo).
  • Foi dado: \operatorname{Re}_C=5\times10^{5}.
  • O que se pede: determinar a taxa de geração de energia (potência elétrica \dot{Q}) necessária para manter a placa isotérmica em \;T_s.
Observações importantes que já extraí daqui e que vou usar: a perda principal de energia será por convecção forçada do ar sobre a superfície superior (área exposta \,A=C\times L). O enunciado remete a tabelas de propriedades (Incropera), que são necessárias para encontrar propriedades do ar no “ponto de filme” — vou indicar isso e usar valores apropriados (ver passo específico).

Passo 2

Definir o “ponto de filme” e calcular sua temperatura; explicar por que isso é usado.
  • O ponto de filme é a temperatura média entre superfície e fluido livre e é onde costumamos avaliar propriedades do fluido (viscosidade, condutividade térmica, Prandtl etc.). Então:
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{150^\circ\mathrm{C}+25^\circ\mathrm{C}}{2}=87{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Em Kelvin isso é \;T_f=87{,}5+273{,}15=360{,}65\\ \mathrm{K}.
    Explicação didática: propriedades do ar (como k, \Pr, \nu) variam com a temperatura; avaliar essas propriedades em T_f costuma dar boa aproximação para convecção entre uma superfície quente e um fluido mais frio.

Passo 3

Escolher a correlação para convecção forçada sobre placa plana e justificar.
  • Para escoamento externo sobre placa plana a correlação de Nu média válida para escoamento turbulento na faixa 5\times10^{5}\le\operatorname{Re}_L\le10^{7} é:
\mathrm{Nu}_L = 0{,}037\,\operatorname{Re}_L^{4/5}\,\Pr^{1/3},
onde \mathrm{Nu}_L=\dfrac{hL}{k}, h é o coeficiente convectivo médio sobre o comprimento L, \operatorname{Re}_L=\dfrac{U_\infty L}{\nu} e \Pr é o número de Prandtl.
  • Justificativa: o enunciado dá \operatorname{Re}_C=5\times10^{5}. Esse valor está exatamente no limite inferior onde a camada limite passa para regime turbulento; a correlação acima é a usada por Incropera para o regime turbulento e é aplicável a partir de \operatorname{Re}\approx5\times10^{5}. Portanto usarei essa correlação com L=C=1\\ \mathrm{m} (comprimento na direção do escoamento).
  • Observação didática: se \operatorname{Re}_L fosse muito menor (regime laminar), usaríamos \mathrm{Nu}_L=0{,}664\,\operatorname{Re}_L^{1/2}\Pr^{1/3}. Aqui, pelo enunciado, seguimos a correlação turbulenta.

Passo 4

Obter propriedades do ar no ponto de filme. Nota sobre tabelas.
  • O enunciado remete às tabelas A.4–A.6 (Incropera) para obter \Pr e k em T_f. Sem acesso direto às tabelas aqui, vou usar valores típicos aproximados para o ar em \;T_f\approx360{,}65\\ \mathrm{K}. Esses valores são consistentes com as tabelas do livro (mas se tiver as tabelas em mãos, substitua pelos valores delas; o procedimento é idêntico).
  • Vou adotar:
\Pr \approx 0{,}71,\qquad k \approx 0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
(essas são aproximações razoáveis para ar entre \;300\\ \mathrm{K} e \;400\\ \mathrm{K}; o resultado final terá pequena sensibilidade a variações moderadas desses números).
  • Área exposta (superfície superior):
A=C\times L=1\\ \mathrm{m}\times0{,}5\\ \mathrm{m}=0{,}5\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a Nusselt média usando a correlação turbulenta e inserir números (mostrando cada etapa numérica).
  • Usando \operatorname{Re}_C=5\times10^{5} e \Pr=0{,}71,
\mathrm{Nu}_C=0{,}037\,\left(5\times10^{5}\right)^{4/5}\,(0{,}71)^{1/3}.
Agora avalio em etapas:
\left(5\times10^{5}\right)^{4/5}=5^{4/5}\times(10^{5})^{4/5}=5^{0{,}8}\times10^{4}.
Calcule 5^{0{,}8}: \;5^{0{,}8}\approx3{,}62. Logo
\left(5\times10^{5}\right)^{4/5}\approx3{,}62\times10^{4}=3{,}62\times10^{4}.
Em seguida (0{,}71)^{1/3}\approx0{,}89. Agora:
\mathrm{Nu}_C\approx0{,}037\times(3{,}62\times10^{4})\times0{,}89.
Multiplicando:
0{,}037\times3{,}62\times10^{4}\approx1{,}339\times10^{3}.
\mathrm{Nu}_C\approx1{,}339\times10^{3}\times0{,}89\approx1{,}193\times10^{3}.
Portanto
\mathrm{Nu}_C\approx1{,}193\times10^{3}.

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo médio h.
  • Lembrando \mathrm{Nu}_C=\dfrac{h\,C}{k}, com C=1\\ \mathrm{m}. Então
h=\frac{\mathrm{Nu}_C\,k}{C}=\mathrm{Nu}_C\cdot k\quad(\text{pois }C=1\\ \mathrm{m}).
Substituindo os valores numéricos:
h\approx(1{,}193\times10^{3})\times(0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)})\approx35{,}8\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: esse é o coeficiente convectivo médio sobre a face superior.

Passo 7

Calcular a taxa de geração de energia \dot{Q} necessária (potência) assumindo perda apenas por convecção na face superior.
  • A perda por convecção (potência) é
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty).
Substituindo:
A=0{,}5\\ \mathrm{m}^2,\qquad T_s-T_\infty=150^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=125\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot{Q}\approx(35{,}8\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)})\times(0{,}5\\ \mathrm{m}^2)\times(125\\ \mathrm{K}).
Calcule passo a passo:
hA=35{,}8\times0{,}5=17{,}9\\ \mathrm{W/K},
\dot{Q}=17{,}9\times125\approx2{,}237{,}5\\ \mathrm{W}\approx2{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Comentários finais, verificação de hipóteses e recomendação prática.
  • Resultado final (com as hipóteses que usei) é \dot{Q}\approx2{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Hipóteses feitas: (i) usei a correlação turbulenta apropriada para \operatorname{Re}_C=5\times10^{5}; (ii) considerei apenas troca convectiva pela face superior (face inferior isolada); (iii) ignorei radiação. Se desejar incluir radiação, usar a lei de Stefan–Boltzmann:
\dot{Q}_\text{rad}=\varepsilon\sigma A\left(T_s^4-T_\infty^4\right),
onde \varepsilon é emissividade e \sigma=5{,}6704\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}. Para \varepsilon típica de metal pintado ( \sim0{,}8) a contribuição radiativa poderia ser um termo não desprezível; portanto, se a emissividade e as tabelas de propriedades estiverem disponíveis, recomendo recalcular h com os valores exatos das tabelas A.4–A.6 e depois somar \dot{Q}_\text{conv}+\dot{Q}_\text{rad}.
  • Observação final encorajadora: você já tem a receita completa — se tiver as tabelas do Incropera, é só substituir \Pr e k no passo 4 e repetir os cálculos; tudo o resto permanece igual.

Resposta

\dot{Q}\approx2{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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