A inversa de uma matriz invertível simétrica é sempre simétrica? Explique ou prove.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se a inversa de uma matriz que é invertível e simétrica também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser simétrica e o que é a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, uma matriz é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Agora, vamos provar que a inversa de uma matriz simétrica é também simétrica. Sabemos que é simétrica, então . Queremos mostrar que .

Passo 5

Começamos tomando a transposta da equação (A cdot A^-1)^T = I^T :
(A^-1)^T cdot A^T = I
Como a transposta do produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, temos:
(A^-1)^T cdot A = I
Como (A^-1)^T = A^-1 é simétrica, :
Isso mostra que é a inversa de . Mas a inversa de é única, então:
Portanto, é simétrica.

Resposta

Sim, a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.

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