A inversa de uma matriz invertível simétrica é sempre simétrica? Explique ou prove.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se a inversa de uma matriz que é invertível e simétrica também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser simétrica e o que é a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, uma matriz
é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Uma matriz é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Agora, vamos provar que a inversa de uma matriz simétrica é também simétrica. Sabemos que
é simétrica, então
. Queremos mostrar que
.
Passo 5
Começamos tomando a transposta da equação
:
Como a transposta do produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, temos:
Como
é simétrica,
:
Isso mostra que
é a inversa de
. Mas a inversa de
é única, então:
Portanto,
é simétrica.
Resposta
Sim, a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.